24.1　测量 同步练（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版（2024）九年级上册

24.1　测量 1.测量物高或物宽时，可以构造两个相似三角形，借助相似三角形对应边　成比例　来解决． 2.在实际问题中，若相关的线段构成直角三角形，可以借助　勾股定理　来解决． 【典例1】如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.1米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于(　B　) A.1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 解析：如图，过点D作DE⊥AB于点E，则AB＝2.1米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，∠AED＝90°， ∴AE＝AB－BE＝2.1－1.6＝0.5（米）. 在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD＝＝＝1.3（米）. 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度． 【变式训练】 1.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10尺，BC＝4尺，求AC的长．则AC的长为(　A　) A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺 考点2　利用相似三角形的性质测量 【典例2】如图所示，九年级某班开展测量旗杆高度的活动，已知标杆的高度CD＝3 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，当A、C、E三点共线时，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆AB的高度． 解：过E作EH⊥AB于H，交CD于G， ∵CD⊥FB，AB⊥FB， ∴CD∥AB，∴EG⊥CD， ∴四边形EFDG和四边形BHGD是矩形， ∴EF＝GD＝HB，EG＝FD，EH＝FB， ∴△CGE∽△AHE，∴＝， 即＝， ∴＝，∴AH＝11.9， ∴AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m). 答：旗杆AB的高度为13.5 m. (1)在利用相似三角形的性质计算物体的高度时，要找准对应边，根据对应边成比例计算出物体的高度． (2)在具体的测量中，要注意测量方法的选择，测量方法要切实可行，测量结果要准确，尽量减少误差． 【变式训练】 2.在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A，C，E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，求塔的高度． 过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H. 由题意，得FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，∴∠DGF＝∠BHF＝90°，∵CD＝7米，∴DG＝CD－CG＝7－1.4＝5.6（米），∵∠DFG＝∠BFH，∴△FDG∽△FBH，∴＝，∴＝，∴BH＝16.8，∴AB＝BH＋AH＝16.8＋1.4＝18.2（米）. 答：塔的高度为18.2米． 知识点1　利用勾股定理测量 1.如图，长方形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝12米，CD＝5米．为了避免行人穿过草地（走虚线BD），践踏绿草，管理部门分别在B、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走　　　米，踏之何忍”．(　B　) A.3 B．4 C．5 D．6 2.数学兴趣小组的同学要测量与地面垂直的旗杆高度．如图，已知系在旗杆顶端A的绳子紧贴旗杆垂到地面后，在地面上多出1米，将绳子拉直后测出绳子的末端与地面的重合点C到旗杆底部B的水平距离为5米，则旗杆的高度为　12　米． 知识点2　利用相似三角形的性质测量 3.如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面距离BC＝1米，已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5米，AC在地面的影长CM＝4.5米，则AB高为(B)米． A．3.5 B．2 C．1.5 D．2.5 4. ... ...