第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 复习课 复习目标 1.知道三角形的边角关系,以及它们之间的内在联系,并能应用到解题中去. 2.学会用自己的语言叙述命题、基本事实和定理的意义. 3.会对命题进行分析,找出条件与结论,判断真假,能写出它们的逆命题. 4.会有条理地思考与表达,会使用“∵”“∴”符号来证明几何问题,深知几何语言的规范性. 重点 三角形的边角关系,命题的证明. 【体系构建】 【专题复习】 专题一 三角形的边角关系 例1 已知一个三角形两边长分别为2 cm和6 cm,则第三边的长可以是 cm.(写出一个符合条件的答案) 变式训练 在三角形中,最多有 个锐角,至少有 个锐角,最多有 个钝角(或直角). 专题二 命题及推理 例2 下列语句不是命题的是 ( ) A.两点之间,线段最短 B.不平行的两条直线有一个交点 C.x与y的和等于0吗 D.对顶角不相等 变式训练 在下列各题括号内,填上推理的依据. 已知:∠1=∠2,求证:∠3=∠4. 证明:∵∠1=∠2,( ) ∴AB∥CD,( ) ∴∠3=∠4.( ) 专题三 三角形的内角和定理 例3 如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=66°,AE⊥BC于点E,AD平分∠BAC,求∠DAE的度数. 变式训练 如图,AB⊥BC,AD⊥CD.求证:∠A+∠C=180°. 专题四 三角形的角平分线、中线和高 例4 如图,AD为△ABC的中线,BE为三角形ABD的中线. (1)已知∠ABE=15°,∠BAD=35°,求∠BED的度数. (2)在△BED中作BD边上的高. (3)若△ABC的面积为60,BD=5,则点E到BC边的距离为多少 变式训练 如图,在△ABC中,∠B+∠C=100°,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE∥AB,交AC于点E,则∠ADE的度数是 ( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 专题五 三角形的外角 例5 如图,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,F是AD上一点,FE的延长线交BC的延长线于点G.求证: (1)∠EGH>∠ADE; (2)∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF. 变式训练 如图,F为AB上一点,E为CF上一点,∠BFC+∠C=180°,求证:∠AEC=∠A+∠C. 参考答案 专题复习 专题一 例1 答案不唯一,如5,6等 变式训练 3 2 1 专题二 例2 C 变式训练 已知;同位角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等 专题三 例3 解:∵∠B+∠C+∠BAC=180°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=84°. 又∵AD平分∠BAC, ∴∠DAC=∠BAC=42°. ∵AE⊥BC,∴∠EAC=90°-∠C=24°, ∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=18°. 变式训练 证明:连接AC,在△ACD中, ∵∠D=90°(已知), ∴∠DAC+∠ACD=90°(直角三角形的两个锐角互余). 在△ABC中,∵∠B=90°(已知), ∴∠BAC+∠ACB=90°(直角三角形的两个锐角互余), ∴∠DAC+∠ACD+∠BAC+∠ACB=∠A+∠C=180°(等式的性质). 专题四 例4 解:(1)∵∠BED是△ABE的一个外角, ∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°. (2)如图,EF是△BED中BD边上的高. (3)∵AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线, ∴S△BED=S△ABC=×60=15. ∵BD=5,∴EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6, 即点E到BC边的距离为6. 变式训练 B 专题五 例5 证明:(1)∵∠EGH是△FBG的一个外角, ∴∠EGH>∠B. 又∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE,∴∠EGH>∠ADE. (2)∵∠BFE是△AFE的一个外角, ∴∠BFE=∠A+∠AEF. ∵∠EGH是△BFG的一个外角, ∴EGH=∠B+∠BFE, ∴EGH=∠B+∠A+∠AEF. 又∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE, ∴∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF. 变式训练 证明:∵∠BFC+∠C=180°, ∴AB∥CD, ∴∠AFC=∠C. 又∵∠AEC=∠A+∠AFC, ∴∠AEC=∠A+∠C. ... ...
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