3.2双曲线 教材习题解答（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2双曲线 【教材课后习题P127】 1．双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于 . 2．求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）焦点在轴上，，经过点； （2）经过、两点． 3．已知下列双曲线的方程，求它的焦点坐标、离心率和渐近线方程： （1）； （2）． 4．求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦点在x轴上，实轴长10，虚轴长8. （2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长8. （3）离心率，经过点. 5．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 6．求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程． 7．m，n为何值时，方程表示下列曲线： （1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线？ 8．求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程. 9．相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程． 10．设动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比是，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 11．M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程． 12．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围． 13．已知双曲线，过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ 14．已知双曲线与直线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？ 【教材习题答案】 1．答案：17. 解析：首先将已知的双曲线方程转化为标准方程，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为16，即可求出点到另一个焦点的距离为17. 2．答案：（1）；（2）. 解析：（1）因为，且双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，将点A的坐标代入双曲线的方程得，解得，因此，双曲线的标准方程为； （2）设双曲线的方程为，将点A、的坐标代入双曲线方程可得，解得，因此，双曲线的标准方程为. 3．答案：（1）焦点，离心率，渐近线；（2）焦点，离心率，渐近线. 解析：（1）将化为标准方程可得，由方程可得，解得，所以渐近线方程为，又，解得，即焦点坐标为，离心率； （2）将化为标准方程可得，由方程可得，解得，所以渐近线方程为，又，解得，即焦点坐标为，离心率； 4．答案：（1）；（2）；（3）. 解析：（1）根据题意，所求双曲线的实轴长10，虚轴长8，可得，则有，又因为双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为：； （2）根据题意，双曲线的焦距是10，虚轴长为8，可得，则，所以，又因为双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为：； （3）根据题意，双曲线的离心率，即，则有，所以，所以该双曲线为等轴双曲线，设其方程为，又因为双曲线经过点，则有，则， 所以双曲线的标准方程为：. 5．答案：点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线，证明见解析. 解析：连接QA，如图所示： 因为l为PA的垂直平分线，所以，所以为定值，又因为点A在圆外，所以，根据双曲线定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线. 6．答案：. 解析：设所求的等轴双曲线的方程为：，将代入得：，即，所以等轴双曲线的标准方程： 7．答案：（1）；（2），，且；（3） 解析：（1）若方程表示圆，则，所以当时，方程为圆； （2）若方程表示椭圆，则，，且，所以当，，且时，方程为椭圆； （3）若方程表示双曲线，则，所以当时，方程为双曲线. 8．答案： 解析：依题意， ... ...