*2.5 一元二次方程的根与系数的关系 素养目标 1.知道一元二次方程根与系数的关系(韦达定理),并能进行简单应用. 2.根据方程的根,会构造一个满足根的方程. 3.体会运用根与系数关系时的整体思想,通常需把x1+x2,x1·x2作为整体代入计算或求值. ◎重点::x1、x2、x1+x2、x1x2与一元二次方程的系数a、b、c之间的关系. 【预习导学】 知识点一：根与系数的关系(韦达定理) 阅读教材本课时“做一做”,回答下列问题. 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么x1+x2= ,x1·x2= . 知识点二：根与系数的关系的应用 阅读教材本课时“例”,回答下列问题. 利用根与系数的关系求方程的两根之和、两根之积时,先要将方程化成 ,再比较b2-4ac与 的大小,判断方程有没有实数根,最后利用根与系数的关系求解. 1.x1,x2是一元二次方程ax2+4x+3=0的两个根,则x1·x2的值是 ( ) A. B. C.- D.- 2.若α,β是一元二次方程x2-3x=0的两个实数根,则α+β的值是 . 【合作探究】 任务驱动一：若x1,x2是方程x2=4的两根,则x1+x2的值是 ( ) A.8 B.4 C.2 D.0 任务驱动二：如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2,x2=1,那么p,q的值分别是 ( ) A.-3,2 B.3,-2 C.2,-3 D.2,3 变式训练 若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1,x2,且x1=3x2,则m的值为 ( ) A.4 B.8 C.12 D.16 任务驱动三：已知α,β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根,则代数式(α-3)(β-3)= ,α2+β2= . 变式训练 已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=3,则m的值为 ( ) A.-3 B.-1 C.-3或1 D.-1或3 任务驱动四：已知2是关于x的一元二次方程x2+4x-p=0的一个根,求该方程的另一个根. 方法归纳交流 此题还可以把x=2代入方程,解得p,代入p值得方程,再解一元二次方程. 变式训练 已知a,b是方程x2+3x-4=0的两根,则a2+4a+b-3= . 任务驱动五：已知三角形两边长是方程x2-5x+6=0的两个根,求三角形的第三边c的取值范围. 变式训练 关于x的一元二次方程x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围. (2)若方程的两个根为α,β,且k2=αβ+3k,求k的值. 1.已知α、β是关于x 的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足+=-1,则m 的值是 ( ) A.3 B.1 C.3 或-1 D.-3 或 1 2.若x2-3x-1=0 的两根为x1,x2,则可得+= . 3.已知k为实数,关于x的方程x2+k2+1=2k(x-1)有两个实数根x1,x2. (1)求实数k的取值范围. (2)若(2x1+1)(2x2+1)=21,试求k的值. 参考答案 【预习导学】 知识点一 - 知识点二 一般形式 0 对点自测 1.B 2.3 【合作探究】 任务驱动一 D 任务驱动二 A 变式训练 C 任务驱动三 -6 22 变式训练 A 任务驱动四 解:∵2是关于x的一元二次方程x2+4x-p=0的一个根, ∴2+x1=-4, ∴x1=-6, ∴该方程的另一个根是-6. 变式训练 -2 任务驱动五 解:∵三角形两边长是方程x2-5x+6=0的两个根, ∴x1+x2=5,x1x2=6. ∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=25-24=1, ∴x1-x2=1. 又∵x1-x20,解得k>2. (2)∵方程的两个根为α,β, ∴αβ==3-k,∴k2=3-k+3k,解得k1=3,k2=-1(舍去). 素养小测 1.A 2.-11 3.解:(1)原方程即为x2-2kx+k2+2k+1=0, 则Δ=4k2-4(k2+2k+1)≥0, ∴k2-(k2+2k+1)≥0, ∴-2k-1≥0, ∴k≤-. (2)由根与系数的关系,得x1+x2=2k,x1x2=k2+2k+1. ∵(2x1+1)(2x2+1)=21, ∴4x1x2+2(x1+x2)+1=21, ∴4(k2+2k+1)+4k+1=21,即k2+3k-4=0, 解得k1=1,k2=-4. ∵k≤-, ∴k的值为-4. ... ...
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