15.3.2 第1课时 等边三角形的性质与判定 素养目标 1.知道等边三角形是特殊的等腰三角形,等边三角形是轴对称图形. 2.会叙述、推理证明等边三角形的性质和判定. 3.经历应用等边三角形性质和判定的过程,增强分析问题、解决问题的能力. 等边三角形的性质、判定及其应用. 【自主预习】 1.等边三角形的三个角有什么关系 2.满足什么条件的三角形是等边三角形 1.在一个三角形中,添加下列条件,不能得到该三角形是等边三角形的是 ( ) A.有两个内角是60°的三角形 B.三边都相等的三角形 C.有一个角是60°的等腰三角形 D.有两个外角相等的等腰三角形 2.在△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,则BC的长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【合作探究】 知识点一：等边三角形的性质 阅读课本本课时“探究”后面第一、第二自然段的内容,解答下列问题. 如图,△ABC是等边三角形,试完成如下证明过程. 证明:在等边△ABC中,由定义有AB= . ∴ =∠C.同理可得∠B=∠A,∠A=∠C,∴∠A= = . 又∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠A=∠B=∠C= . 等边三角形的三个角都 ,并且每一个角都等于 . 如图,△ABC是等边三角形,点D在AC边上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为 ( ) A.25° B.60° C.85° D.95° 知识点二：等边三角形的判定 阅读课本本课时“探究”后面第三自然段至“例4”的内容,解答下列问题. 1.如果一个三角形有两个角是60°,那么第三个角的度数为 ,从而可知该三角形是 三角形. 2.若一个等腰三角形有一个角等于60°(若这个角是顶角,则两个底角分别等于 ;若这个角是底角,则另一个底角为 ,顶角为60°),则这个三角形是 三角形. 判定一个三角形是等边三角形的方法: ①定义法: 的三角形是等边三角形. ② 的三角形是等边三角形. ③有一个角是 的等腰三角形是等边三角形. 1.在△ABC中,∠A=60°,添加下列一个条件后,仍不能判定△ABC为等边三角形的是 ( ) A.AB=AC B.∠A=∠B C.AD⊥BC(D为BC上一点) D.∠B=∠C 2.如图,在△ABC中,D为AB上一点,AD=DC=BC,且∠A=30°,AD=5,则AB的长为 . 题型 等边三角形判定与性质的综合应用 例 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF=60°,其两边分别交边AB,AC于点E,F. (1)求证:△ABD是等边三角形. (2)求证:BE=AF. 变式训练 如图,在△ABC中,∠B=60°,延长BC到点D,延长BA到点E,使AE=BD,连接CE,DE,使EC=DE,求证:△ABC是等边三角形. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.解:等边三角形的三个角相等且都等于60°. 2.解:三个角都相等的三角形或有一个60°角的等腰三角形是等边三角形. 自学检测 1.D 2.A 【合作探究】 知识生成 知识点一 AC ∠B ∠B ∠C 60° 归纳总结 相等 60° 对点训练 D 知识点二 1.60° 等边 2.60° 60° 等边 归纳总结 ①三条边都相等 ②三个角都相等 ③60° 对点训练 1.C 2.10 题型精讲 例 证明:(1)∵AB=AC,AD⊥BC, ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC. ∵∠BAC=120°, ∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°. ∵AD=AB, ∴△ABD是等边三角形. (2)由(1)可知,△ABD是等边三角形, ∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD. ∵∠EDF=60°, ∴∠ADB=∠EDF, ∴∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE, ∴∠BDE=∠ADF. 在△BDE和△ADF中, ∴△BDE≌△ADF(ASA), ∴BE=AF. 变式训练 证明:如图,延长BD至点F,使DF=BC,连接EF. ∵EC=ED, ∴∠ECD=∠EDC, ∴∠ECB=∠EDF, ∴易证得△ECB≌△EDF(SAS), ∴BE=EF. ∵∠B=60°, ∴△BEF为等边三角形, ∴BE=BF. ∵AE=BD, ∴DF=AB. ∵BC=DF, ∴AB=BC, ∴△ABC是等边三角形. ... ...
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