15.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 导学案 （含答案）2025-2026学年人教版（2024）初中数学八年级上册

15.3.2　第2课时　含30 °角的直角三角形的性质 素养目标 1.通过拼图,探索、发现、归纳、证明含30°角的直角三角形的性质. 2.掌握有一个角为30°的直角三角形的性质与应用. 含30°角的直角三角形的性质定理及应用. 【自主预习】 在直角三角形中,30°的角所对的直角边与斜边有什么数量关系 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=4,AB的长为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图,∠C=90°,∠B=2∠A,AB=6,则线段BC的长为　　　　. 【合作探究】 知识点：含30 °角的直角三角形的性质 　　阅读课本本课时的全部内容,解答下列问题. 1.如图1,若△ABC是等边三角形,AD是高,因为等边三角形是轴对称图形,沿AD折叠后,点B与点C重合,则BD= = ,∠ADB=∠ADC= ,∠BAD=∠CAD= = °. 又AB=BC,∴BD= AB. 2.上述结果我们也可以采用如下方法证明: 如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,则∠B= . 如图3,延长BC至点D,使CD=BC,连接AD,又AC= ,∴△ABC≌△ADC(SAS),∴AB= ,∴△ABD是 三角形,∴BC= BD=AB. 　　在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的 . 1.已知直角三角形中30°角所对的直角边为2 cm,则斜边的长为 ( ) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 2.(真情境)如图,这是屋架设计图的一部分,D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE均垂直于横梁AC,AB=8米,∠A=30°,则DE的长为 ( ) A.4米 B.3米 C.2米 D.1米 3.如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,若AD=2,则BD的长为 . 题型1 含30°角的直角三角形的性质的应用 例1　如图,∠AOB=30°,P是∠AOB平分线上一点,过点P作PC平行OA交OB于点C,PD⊥OA于点D,且PC=6. (1)求证:△OPC是等腰三角形. (2)求PD的长. 变式训练　如图,在△ABC中,∠ACB=30°,线段AC的垂直平分线分别交AC,BC于点D,E,点O在DE上,∠OAB=∠OBA. (1)求证:△OAB是等边三角形. (2)若OD=2,OE=4,求BE的长. 题型2 含30°角的直角三角形的性质的实际应用 例2　如图,一艘轮船由南向北航行,在A处测得小岛P在北偏西15°的方向上,两小时后,轮船在B处测得小岛P在北偏西30°的方向上,在小岛周围18海里内有暗礁,若轮船仍按15海里/时的速度向前航行,有无触礁的危险 请判断并说明理由. 【方法归纳交流】当题目中有15°的角出现时,常构造 三角形解决问题. 变式训练　(真情境)某市旧城改造项目计划在一块如图所示的三角形ABC空地上种植某种草皮美化环境,其中AB=20m,AC=40m,∠BAC=150°.已知这种草皮每平方米a元,则购买这种草皮一共需要多少钱 参考答案 【自主预习】 预学思考 解:在直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半. 自学检测 1.D　2.3 【合作探究】 知识点 1.CD　BC　90°　∠BAC　30　 2.60°　AC　AD　等边　 归纳总结　一半 对点训练 1.B　2.C　3.6 题型精讲 题型1 例1 解:(1)证明:∵OP平分∠AOB, ∴∠POB=∠POA. 又∵PC∥OA,∴∠POA=∠OPC, ∴∠POB=∠OPC, ∴OC=PC, ∴△OPC是等腰三角形. (2)如图,过点P作PE⊥OB,垂足为E. ∵OP平分∠AOB,∠AOB=30°, ∴∠POC=∠AOB=15°. 又∵∠POC=∠POA=∠OPC=15°, ∴∠PCE=∠POC+∠OPC=15°+15°=30°. ∵PE⊥OB,∴∠PEC=90°, ∴PE=PC=×6=3. ∵OP平分∠AOB,PE⊥OB,PD⊥OA, ∴PD=PE=3. 变式训练 解:(1)证明:∵DE是线段AC的垂直平分线, ∴OC=OA,∴∠OAC=∠OCA. ∵∠OAB=∠OBA,∴OA=OB. ∵OC=OA,∴OC=OB, ∴∠OBC=∠OCB, ∴∠OAC+∠OBC=∠OCA+∠OCB=30°, ∴∠OAB+∠OBA=180°-30°-30°=120°, ∴∠OAB=∠OBA=60°, ∴△OAB是等边三角形. (2)如图,过点O作OF⊥BC于点F. 在Rt△CDE中,∠ACB=30°,DE=OD+OE=6, 则CE=2DE=2×6=12,∠CED=60°, ∴∠EOF=30°,∴EF=OE=2, ∴CF=CE-EF=12-2=10. ∵OB=OC,OF⊥BC, ∴BC=2CF=20, ∴BE=BC-CE=20-12=8. 题型2 例2 解:有触礁的危险. 理由:过点P作PC⊥AB交AB延 ... ...