2.3 用公式法求解一元二次方程 教学设计 北师大版数学九年级上册

2.3用公式法求解一元二次方程 第2课时 利用一元二次方程解决面积问题教学设计 1.教学内容 本节课选自北师大版九年级上册第二章 一元二次方程 2.3 用公式法求解一元二次方程（第2课时），核心知识点：列一元二次方程解决几何实际问题（以面积问题为主）；利用“割补法”“图形平移（面积不变）”性质建立方程模型；根据实际意义检验方程解的合理性；公式法在实际问题中的应用（结合根的判别式判断解的有效性）。 2.内容解析 本课时是公式法求解一元二次方程的应用延伸，核心逻辑为“实际几何问题→数学抽象（面积关系）→建立一元二次方程→求解并检验”。从知识价值看，既巩固公式法、根的判别式等旧知，又强化“模型思想”，是连接代数计算与几何应用的关键。教学重点是利用面积法建立方程模型，通过“图形平移”简化列方程过程；需引导学生理解“解的合理性检验”的必要性（如边长、宽度不能为负或超出原图形尺寸），确保表述简洁，聚焦“实际问题转化为数学方程”的核心环节。 1.教学目标 1. 经历列方程解决简单实际问题的过程，体会模型思想，增强数学应用意识和能力； 2. 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型（重点）； 3. 能运用一元二次方程解决实际问题，根据具体问题的实际意义检验结果的合理性（难点）。 2.目标解析 1. 目标1达成标准：学生能独立描述矩形荒地建花园、温室种植区域等实际问题的数量关系（如“花园面积=荒地面积的一半”），并尝试用文字表述等量关系； 2. 目标2达成标准：学生能针对面积相关问题，通过“割补”或“平移”将不规则图形转化为规则图形（如4个扇形转化为1个圆、纵横小路平移后形成新矩形），并根据面积公式列出一元二次方程（如）； 3. 目标3达成标准：学生能用公式法求解所列方程，且能主动检验解的实际意义（如舍去“小路宽12m”“温室宽-10m”等不符合实际的解），并准确解释舍去理由。 1. 已有知识基础：学生已掌握一元一次方程的实际应用（列方程解应用题步骤）、多项式乘法运算，以及一元二次方程的公式法、根的判别式（），具备“从实际问题找等量关系”的初步经验； 2. 学习难易点： - 易点：概念归纳（如识别面积问题的等量关系）、公式法求解方程（旧知迁移），学生可通过旧知快速掌握方程求解步骤； - 难点：列方程建模（尤其不规则图形转化为规则图形的过程，如“4个扇形面积=1个圆面积”“小路平移后新矩形的边长表示”），以及解的合理性检验（易忽略实际场景中长度、宽度的取值范围）； 3. 教学难点突破：需通过直观图形演示（如平移小路、拼接扇形），引导学生理解图形转化的依据，再通过阶梯式问题拆解“列方程”步骤，降低建模难度。 1.复习回顾 1. 一元二次方程的求根公式： 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.当 ≥0 时，一元二次方程 的根是 . 2. 一元二次方程根的判别式： 一元二次方程 的根的判别式是 ，通常用希腊字母"Δ"来表示。 3. 一元二次方程的根与根的判别式 的关系： 当 时，方程有两个不相等的实数根； 当 时，方程有两个相等的实数根； 当 时，方程无实数根. 2.情景引入 呈现生活情境：某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意可以列出怎样的方程？ 同时展示荒地示意图，引导学生思考“要确定关键尺寸，需要先找到什么关系？” 【设计意图】通过生活中常见的情境，激发学生的探究兴趣，让学生意识到“实际问题需转化为数学问题解决”，明确本节课“用一元二次方程解决几何面积问题”的学习方向，实现旧知（面积公式、方程应用）与新知的衔接。 探究点1　四周小路宽度相 ... ...