【高考快车道】培优专练4 数列与不等式的综合问题（含解析）--2026版高考数学二轮专题复习与策略

培优专练4 1．解：(1)∵＋…＋＝n，① 当n＝1时，＝1，故a1＝1， n≥2时，＋…＋＝n－1，② ①－②得＝1 an＝2n－1(n≥2)，而a1＝1也满足上式， ∴an＝2n－1． (2)由(1)知bn＝＝， ∴Sn＝＝<． 2．解：(1)证明：由题知na1＋a2＋…＋an＝2Sn－1， 用n＋1替换上式的n，得a1＋na2＋…＋an＋1＝2Sn＋1－1． 两式作差，a1＋a2＋…＋an＋an＋1＝Sn＋1＝2Sn＋1－2Sn，即Sn＋1＝2Sn． 而由1×a1＝2S1－1，可得S1＝1≠0． 从而是首项为1，公比为2的等比数列． (2)由(1)得Sn＝2n-1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n-2，a1＝1不满足上式． 所以an＝ 设Tn＝＋…＋，则T1＝1， 当n≥2时，Tn＝1＋2×20＋…＋n×22-n， 故Tn＝＋2×2-1＋…＋n×21-n， 两式作差，得Tn＝－n×21-n＝－n×21-n． 整理可得Tn＝7－×22-n． 故Tn<7，又T5＝>6，因此满足条件的最小正整数m为7． 3．解：(1)由是首项为，公差为的等差数列， 故＝＝， 即Sn＝n＝， 当n≥2时，Sn－1＝， 故Sn－Sn－1＝an＝＝＝n2， 当n＝1时，a1＝S1＝＝1，符合上式，故an＝n2． (2)由an＝n2，Sn＝， 故bn＝＝＝， 则Tn＝b1b2·…·bn＝·…· ＝＝， 由≥3×2＝6， 故Tn≤＝6n-1， 4．解：(1)证明：由Sn＝3an－2n知a1＝S1＝3a1－2，得a1＝1． 由已知有an＋1＝Sn＋1－Sn＝＝3an＋1－3an－2n， 故an＋1＝an＋2n-1，得an＋1－2n+1＝an＋2n-1－2n+1＝an－3·2n-1＝． 而a1－21＝1－2＝－1≠0，故数列是首项为－1，公比为的等比数列． (2)根据(1)的结论有an－2n＝－， 即an＝2n－． 所以bn＝an＋λ·2n－＝·2n－． 若{bn}是递增数列，则bn＋1>bn恒成立，即·2n+1－>·2n－(λ＋2)·． 所以2·2n－>·2n－，化简得到3·4n>·3n，即3(1＋λ)＞(λ＋2)． ①当λ＋2＜0，即λ＜－2时，＜，因为＞0，且n→＋∞时，→0，故≤0，所以－2＜λ≤－1(舍去)． ②当λ＋2＝0，即λ＝－2时，－3＞0，矛盾，故λ＝－2舍去． ③当λ＋2＞0，即λ＞－2时，＞，因为＝，故＞，所以λ＞－，满足λ＞－2． 综上可得，λ的取值范围为． 1/1培优专练4　数列与不等式的综合问题 1．(2024·江苏连云港模拟)已知数列满足＋…＋＝n． (1)求数列的通项公式； (2)若bn＝，数列的前n项和为Sn，证明：Sn<． 2．(2024·湖南长沙二模)记Sn为数列的前n项和，已知na1＋a2＋…＋an＝2Sn－1． (1)证明：数列是等比数列； (2)求最小的正整数m，使得m≥＋…＋对一切n∈N*都成立． 3．(2024·广东茂名一模)设Sn为数列的前n项和，已知是首项为，公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)令bn＝，Tn为数列的前n项积，证明： 4．(2024·黑龙江哈尔滨三模)已知数列的前n项和为Sn，且Sn＝3an－2n． (1)求证：数列是等比数列； (2)设bn＝an＋λ·2n－，若是递增数列，求实数λ的取值范围． 1/1