24.1.2 垂直于弦的直径 素养目标 1.通过折叠、作图等方法,理解圆的轴对称性. 2.利用圆的轴对称性,探索垂径定理,理解垂径定理的内容. 3.会用垂径定理进行简单的证明和计算. ◎重点:垂径定理、推论及其简单应用. 【预习导学】 知识点一：圆的轴对称性 阅读课本本课时“探究”至“圆是轴对称图形……”,解决下列问题. 1.按照课本“探究”的要求折纸,可以发现折线两侧的半圆 ,所有的折痕都交于一点,这点就是 . 2.要证明圆是轴对称图形,只需要证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在 . 3.如图,P为☉O上任意一点,AB为☉O的任意一条直径,请说明☉O关于直线AB对称,补全下面的说理过程. 证明:过点P作PM⊥AB于点M,延长PM交☉O于点P',连接OP,OP'. 在△OPP'中, ,且PP'⊥AB, ∴ (等腰三角形三线合一), 即 是PP'的垂直平分线, ∴圆上任意一点P关于直线AB的对称点也在圆上, ∴☉O关于直线 对称. 归纳总结 圆是 图形,对称轴是 ,有 条. 知识点二：垂径定理 阅读课本本课时“从上面的证明”至“例2”之前的内容,解决下列问题. 如图,在☉O中,弦AB(不是直径)与直径CD垂直,垂足为E,根据圆的轴对称性,当把☉O沿CD所在的直线折叠时,点A与点B重合. 学习小助手： (1)线段AE与线段BE重合,所以AE BE,即直径CD平分弦AB; (2)与 重合,所以= ,即直径CD平分 ; (3) 与 重合,所以 = ,即直径CD平分 . 思考:直径CD与弦AB有怎样的位置关系 这样的一条直径CD平分了哪些量 归纳总结 于弦的直径 弦,并且 弦所对的两条弧. 温馨提示 几何语言表示:∵CD为☉O的直径,CD⊥AB,∴AE=BE,=,=(垂径定理). 【合作探究】 任务驱动一：垂径定理及其推论 1.如图,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E,若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗 和相等吗 和呢 归纳总结 推论:平分弦(不是直径)的直径 于弦,并且 弦所对的两条弧. 思考:“垂径定理”中的“弦”为直径时,结论还成立吗 “推论”中“被平分的弦”为什么不能是直径 请简单说明理由.(可以画图说明) 任务驱动二：垂径定理的简单应用(图形计算) 2.如图,在☉O中,直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=1 cm,EB=5 cm,且∠DEB=60°,求CD的长. 任务驱动三：垂径定理的实际应用 3.(应用意识)如图,这是一张盾构隧道断面结构图.隧道内部为以点O为圆心,AB为直径的圆.隧道内部共分为三层,上层为排烟道,中间为行车隧道,下层为服务层.点A到顶棚的距离为1.6 m,顶棚到路面的距离是6.4 m,点B到路面的距离为4.0 m.请求出路面CD的宽度.(结果精确到0.1 m) 参考答案 【预习导学】 知识点一 1.重合 圆心 2.圆上 3.OP=OP' PM=P'M AB AB 归纳总结 轴对称 直径所在的直线(或过圆心的直线) 无数 知识点二 (1)= (2) (3) 思考: 答:直径CD与弦AB垂直,直径CD平分了弦AB和弦AB所对的两条弧. 归纳总结 垂直 平分 平分 【合作探究】 任务驱动一 1.解:如图,连接OA,OB,则△AOB为等腰三角形. ∵AE=BE, ∴CD⊥AB(三线合一). 由垂径定理得=,=. 归纳总结 垂直 平分 思考: 答:垂径定理中的“弦”为直径时,结论仍成立,如图1;推论中被平分的“弦”不是直径,如果这条弦是直径的话,任意两直径都互相平分,结论就不一定成立,如图2. 任务驱动二 2.解:如图,过点O作OP⊥CD于点P,连接OD, ∴CP=PD. ∵AE=1,EB=5, ∴AB=6, ∴OE=2. 在Rt△OPE中,∠DEB=60°, ∴∠POE=30°, ∴PE=OE=×2=1, ∴OP===, ∴PD==, ∴CD=2PD=2(cm). 任务驱动三 3.解:如图,连接OC,AB交CD于点E. 由题意知,AB=1.6+6.4+4=12, 所以OC=OB=6, OE=OB-BE=6-4=2, 由题意可知,AB⊥CD, ∵AB过点O, ∴CD=2CE, 在Rt△OCE中,由勾股定理得CE===4, ∴CD=2CE=8≈11.3 m, 所以路面CD的宽度为11.3 m. ... ...
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