类型1 空间向量的表示及运算 1．空间向量的概念及运算是由平面向量延伸而来的，要用类比的思想去掌握．在空间向量的加、减、数乘等线性运算中，要选择适当的向量为基底，用基向量表示出相关向量后再进行向量的运算，同时还要以相应的图形为指导． 2．解决一个向量由其他几个向量来表示的问题，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把所求的向量逐步分解，最终归结为基向量来表示． 3．牢记平面向量基本定理和空间向量基本定理，提升逻辑推理、直观想象、数学运算素养． 【例1】 (1)在三棱锥P-ABC中，△PAB和△ABC都是等边三角形，AB＝2，PC＝1，D为棱AB上一点，则的值为( ) A． B．1 C． D．与D点位置有关 (2)在空间四边形OABC中，E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上一点，且EH＝EF.记＝x＋y＋z，则有序数对(x，y，z)＝_____，若⊥⊥，∠BOC＝，且||＝||＝||＝1，则||＝_____. (3)已知a＝(1，2，－1)，b＝(－2，4，2)． ①若a∥c，且|c|＝2，求c的坐标； ②若(ka＋b)⊥(a－2b)，求实数k的值． 类型2 利用空间向量证明平行与垂直 1．证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量． 2．证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线． (3)利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量． 3．证明面面平行的方法 (1)转化为线线平行、线面平行处理． (2)证明这两个平面的法向量是共线向量． 4．证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直． 5．证明线面垂直的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量． (2)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 6．证明面面垂直的方法 (1)转化为证明线面垂直． (2)证明两个平面的法向量互相垂直． 7．借助空间向量法证明平行、垂直问题，提升逻辑推理、数学运算素养． 【例2】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明： (1)BE⊥DC； (2)BE∥平面PAD； (3)平面PCD⊥平面PAD. [尝试解答]_____ _____ 类型3 利用空间向量求角与距离 1．利用空间向量求解空间角与距离的问题，通常需要建立空间直角坐标系．空间几何图形的结构特征，图形中的垂直关系(或在图形中构造的垂直关系)是我们构建空间直角坐标系时的重要依据．常用构建空间直角坐标系的策略有： (1)利用共顶点的互相垂直的三条棱，构造空间直角坐标系． (2)利用线面垂直或面面垂直关系构建空间直角坐标系． (3)利用正棱锥的底面中心与高所在直线，构建空间直角坐标系． (4)利用底面正三角形一边上的高或菱形的对角线，构建空间直角坐标系． 2．熟练应用向量法求解空间角与距离问题，提升数学运算、直观想象、逻辑推理素养． 【例3】 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点． (1)求点A1到平面AC1D的距离； (2)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； (3)求直线CD与平面AC1D所成角的正弦值． [尝试解答]_____ _____ 类型4 数学思想在向量中的应用 1．空间向量的具体应用主要体现为两种方法———向量法和坐标法．这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后由运算结果回归到几何结论．这样就把立体几何问题转化为空间向量来研究，体现了化归与转化思想． 2．掌握化归思想在立体几何中的应用，提升数学抽象、数学运算、逻辑推理素养． 【例4】 如图(1)，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，且AB＝AD＝CD＝1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADE ... ...
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