【学霸笔记：同步精讲】第三章 §4 4.3 第1课时 空间中的角 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时　空间中的角 学习任务 核心素养 1．理解直线与平面的夹角的概念．(重点、易错点) 2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题．(重点、难点) 通过利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题，提升逻辑推理、直观想象与数学运算等数学素养． 前面，我们用空间向量研究了空间中的位置关系：平行与垂直，是否可以用空间向量研究空间中的数量关系呢？这要解决两个问题：一、用什么刻画空间中的数量关系；二、怎样刻画空间中的数量关系． 1．两条直线的夹角 设两条直线a，b的夹角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝，θ∈． 2．直线与平面的夹角 设直线和平面的夹角为θ，且直线的方向向量为a，平面的法向量为b，则sin θ＝，θ∈． 3．平面与平面的夹角 平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos|＝，其中n1，n2分别为平面α，β的法向量． (1)二面角的平面角的取值范围是什么？ (2)二面角α-l-β的平面角与平面α，β的夹角有何关系？ (3)二面角α-l-β的平面角与平面α，β的法向量的夹角有何关系？ _____ _____ _____ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两异面直线的夹角与两直线的方向向量的夹角一定相等． (　　) (2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝． (　　) (3)直线与平面的夹角的范围为． (　　) (4)设直线和平面的夹角为θ，且直线的方向向量为n1，平面的法向量为n2，则sin θ＝． (　　) 2．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线的夹角等于(　　) A．30°　　 B．150° C．30°或150° 　 D．以上均错 3．若v＝(1，1，0)是直线l的一个方向向量，n＝(1，2，－1)是平面α的一个法向量，则l与α的夹角为_____． 4．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，则PB与CD的夹角为_____． 类型1　两条异面直线夹角的向量求法 【例1】　【链接教材P130例8】 如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D夹角的余弦值． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　1．利用向量法求异面直线夹角的一般步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系； (2)求出两直线的方向向量v1，v2； (3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解． 2．两异面直线夹角的范围是，两向量的夹角的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角． [跟进训练] 1．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线AD1与EC的夹角为60°，试确定此时动点E的位置． _____ _____ _____ 类型2　直线与平面夹角的向量求法 【例2】　已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1夹角的正弦值． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　借助于向量求线面角，关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，另外，一定要注意向量夹角和直线与平面的夹角的区别和联系． [跟进训练] 2．如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H． (1)求证：AB∥FG； (2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF夹角的大小，并求线段PH的长． _____ _____ _____ 类型3　二面角的向量求法 【例3】　如图的多面体是直平行六面体ABCD-A1B1C1D1被平面 ... ...