类型1 利用空间向量证明垂直与平行 利用空间向量证明平行、垂直关系的方法 (1)证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量即可． (2)证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两个不共线向量来线性表示直线的方向向量． (3)证明面面平行的方法：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题． (4)证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直． (5)证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②转化为线线垂直问题． (6)证明面面垂直的方法：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题． 【例1】 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F． (1)证明：PA∥平面EDB； (2)证明：PB⊥平面EFD． [尝试解答] _____ _____ _____ _____ 类型2 利用空间向量求空间角 利用空间角可对直线与平面的位置关系作定量分析，利用空间向量可将空间角转化为空间向量的夹角来求解． (1)求异面直线所成的角：找出(或求出)两异面直线a，b的方向向量v1，v2，若θ为a与b的夹角，则有cos θ＝，然后求出θ即可． (2)求直线与平面的夹角：找出(或求出)直线的一个方向向量v和平面的一个法向量n，设直线与平面的夹角为θ，则有sin θ＝．当〈v，n〉为锐角时，θ＝－〈v，n〉；当〈v，n〉为钝角时，θ＝〈v，n〉－． (3)求二面角：设n1是平面α的法向量，n2是平面β的法向量，θ为二面角的平面角，则|cos θ|＝，θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉，需借助空间几何体进行具体判断． 【例2】 如图，在空间直角坐标系中，已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求： (1)A1D与EF夹角的大小； (2)A1F与平面B1EB夹角的正弦值； (3)平面CD1B1与平面D1B1B夹角的余弦值． [尝试解答] _____ _____ _____ _____ 类型3 用空间向量求空间距离 1．点到直线的距离的向量求法 先求直线的方向向量，再在直线上任取一点，与原来点构成向量，利用公式d＝计算． 2．点到平面的距离的向量求法 先求出平面的法向量，再在平面内任取一点，与原来点构成向量，此向量在法向量上的投影的绝对值，就是点到平面的距离，即d＝． 【例3】 如图所示，已知四边形ABCD，EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P是ED的中点，求点P到平面EFB的距离． [尝试解答] _____ _____ _____ _____ 类型4 空间向量与存在性问题 存在性问题是在一定条件下论证会不会出现某个结论．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述，解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性． 【例4】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ABC＝90°，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，试问在线段PA上是否存在一点M到平面PCD的距离为？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由． [尝试解答] _____ _____ _____ _____ 1 / 1类型1 利用空间向量证明垂直与平行 利用空间向量证明平行、垂直关系的方法 (1)证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量即可． (2)证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两个不共线向量来线性表示直线的方向向量． (3)证明面面平行的方法：①证明两个平面的法 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
