【学霸笔记：同步精讲】第二章 §1 1.2 椭圆的简单几何性质 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

1.2　椭圆的简单几何性质 学习任务 核心素养 1．掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴、离心率的概念，理解椭圆的范围和对称性．(重点) 2．掌握a，b，c，e的几何意义及其相互关系．(重点) 3．在用代数法研究椭圆的几何性质的过程中，体会数形结合的思想．(难点) 通过对椭圆性质的学习与应用，培养数学运算与直观想象素养． 求曲线方程与用曲线方程研究曲线的性质是解析几何的两个基本问题．上一节课我们学习了椭圆方程，椭圆有哪些几何性质呢？如何用椭圆方程研究椭圆的几何性质呢？ 已知曲线C的方程为f (x，y)＝0． 1．若f(－x，y)＝0与f (x，y)＝0是同解方程，则曲线C关于什么对称？ 2．在椭圆＝1(a>b>0)中，x，y的取值范围是什么？ 椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＝1 (a＞b＞0) ＝1(a＞b＞0) 对称性 对称轴：_____，对称中心：_____ 范围 －a≤x≤a且 －b≤y≤b －b≤x≤b且 －a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝__，长轴长＝__ 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝__ 离心率 e＝(0＜e＜1) (1)椭圆方程＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义是什么？ (2)椭圆上的点到焦点的最远距离与最近距离分别是什么？ _____ _____ _____ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)椭圆＝1(a＞b＞0)的长轴长等于2a． (　　) (2)椭圆的离心率e越小，椭圆越扁． (　　) (3)椭圆＝1(a>b>0)与＝1(a>b>0)的焦距相等，但焦点不同． (　　) (4)若F1，F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上的动点，则△MF1F2面积的最大值是bc． (　　) 2．已知点(x0，y0)在椭圆＝1上，则下列点中不一定在椭圆上的点是(　　) A．(－x0，y0)　 B．(x0，－y0) C．(－x0，－y0)　 D．(y0，x0) 3．椭圆＝1的离心率为_____． 4．焦点在x轴上，长轴、短轴的长分别是8和6的椭圆的标准方程为_____． 类型1　椭圆的几何性质 【例1】　(1)椭圆＝1与＝1(0＜k＜9)的(　　) A．长轴长相等　　 B．短轴长相等 C．离心率相等 　 D．焦距相等 (2)已知椭圆的标准方程为＝1，O为坐标原点，则椭圆上的点P到椭圆中心的距离|OP|的范围为(　　) A．[6，10] 　 B．[6，8] C．[8，10]　　 　 D．[16，20] (3)椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长为_____，短轴长为_____． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c． (4)写出椭圆的几何性质． [跟进训练] 1．已知椭圆＝1的离心率e＝，则实数k的值为(　　) A．3 　 B．3或 C． 　 D．或 类型2　由椭圆的简单性质求方程 【例2】　【链接教材P55例5】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，a＝2，离心率e＝； (2)一焦点坐标为(－3，0)，一顶点坐标为(0，5)； (3)过点(3，0)，离心率e＝． [思路点拨]　(1)由a＝2，e＝＝，易得c，代入b2＝a2－c2可求得b2，此时可写出焦点在y轴上的椭圆方程；(2)由已知可以确定焦点在x轴上及c，b的值，从而可写出椭圆的标准方程；(3)不能确定焦点所在的坐标轴，需分类讨论． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　已知椭圆的简单性质求标准方程的步骤 (1)先看题目的条件能否确定焦点所在的坐标轴，当不能确定焦点所在的坐标轴时，需分焦点在x轴上或在y轴上进行讨论． (2)然后依据关系式e＝，b2＝a2－c2确定a，b的值，从而求出椭圆的标准方程． [跟进训练] 2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为8，离心率为0.8； (2)长轴是短轴的3倍，且经过点(3，0)． _____ _____ _____ 类型3　求椭圆的离心率 【例3】　已知F1，F2是椭圆的 ... ...