【学霸笔记：同步精讲】第二章 §2 2.1 双曲线及其标准方程 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

§2　双曲线 2.1　双曲线及其标准方程 学习任务 核心素养 1．掌握双曲线的定义及其应用．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点) 3．会求双曲线的标准方程．(易混点) 1．通过对双曲线的定义、标准方程的学习，培养数学抽象、直观想象素养． 2．借助双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养． 做下面一个试验． (1)取一条拉链，拉开一部分． (2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上． (3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线． 试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？ 1．双曲线的有关概念 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线 焦点 两个定点叫作双曲线的焦点 焦距 两焦点间的距离叫作双曲线的焦距 集合语言 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|} 1．(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)双曲线定义中，将“差的绝对值”改为“差”，其他条件不变，点的轨迹是什么？ [提示]　(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (2)动点的轨迹是双曲线的一支． 2．双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 (a>0，b>0) (a>0，b>0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 2．确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？ [提示]　a，b的值及焦点所在的位置． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)平面内到点F1(1，0)，F2(－1，0)距离之差的绝对值等于2的点的集合是双曲线． (　　) (2)平面内到点F1(0，2)，F2(0，－2)距离之差等于3的点的集合是双曲线． (　　) (3)双曲线的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝c2－b2． (　　) (4)方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知动点P(x，y)在双曲线＝1上，则(　　) A．＝4 B．＝4 C．＝4 D．＝4 D　[利用双曲线定义求解．] 3．双曲线＝1的焦点坐标为_____． (2，0)，(－2，0)　[∵c2＝a2＋b2＝20， ∴c＝2，∵焦点在x轴上，∴焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．] 类型1　双曲线的定义及应用 　双曲线中焦点三角形的面积问题 【例1】　已知双曲线＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． [解]　由＝1，得a＝3，b＝4，c＝5． 由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64，所以＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝×64×＝16． 　利用双曲线定义求点的轨迹方程 【例2】　已知定点A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程． [思路点拨]　 考查点F的几何性质，利用双曲线的定义求解． [解]　设F(x，y)为轨迹上的任意一点， 因为A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上， 所以|FA|＋|CA|＝2a， |FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)． 所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|． 所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝＝2，即|FA|－|FB|＝2． 由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上． 所以点F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)． 　1．利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，要注意||PF1|－|PF2||＝2a的变形运用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系． 2．利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程的基本步骤： (1)寻求动点M 与定 ... ...