【学霸笔记：同步精讲】第二章 §3 3.1 抛物线及其标准方程 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

§3　抛物线 3.1　抛物线及其标准方程 学习任务 核心素养 1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点) 2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点) 3．理解p的几何意义，并能求简单的抛物线的标准方程．(难点) 1．通过对抛物线的定义、标准方程的学习，培养数学抽象、直观想象素养． 2．借助于对标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养． 抛物线这个几何对象，我们并不陌生． 例如，从物理学中我们知道，一个向上斜抛的乒乓球，其运动轨迹是抛物线的一部分，如图所示；二次函数的图象是一条抛物线；等等． 到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、椭圆或双曲线的定义呢？ 1．抛物线的有关概念 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线 焦点 定点F叫作抛物线的焦点 准线 定直线l叫作抛物线的准线 集合表示 P＝{M||MF|＝d}，d为点M到直线l的距离 1．抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么动点的轨迹是什么？ [提示]　点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 2．抛物线的标准方程 图形 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 焦点坐标 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 2．抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中，p的几何意义是什么？ [提示]　焦点到准线的距离． 3．已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ [提示]　一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上．若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的集合(轨迹)一定是抛物线． (　　) (2)抛物线x2＝－2y的焦点到准线的距离是1． (　　) (3)抛物线y＝－2x2的准线方程是y＝． (　　) (4)若P是抛物线y2＝2px(p＞0)上的一点，则＝． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　) A．(0，2)　　 B．(0，1) C．(2，0) 　 D．(1，0) D　[∵y2＝4x，∴焦点F(1，0)．] 3．抛物线y2＝2px(p＞0)过点M(2，2)，则点M到抛物线准线的距离为_____． 　[y2＝2px过点M(2，2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋＝．] 4．顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程为_____． y2＝－x或x2＝y　[当焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程是y2＝kx，代入点P(－2，3)，解得k＝－， 当焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程是x2＝my，代入点P(－2，3)，解得m＝， 所以抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝y．] 类型1　抛物线的定义 【例1】　已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　) A．　　　　 B．1　　 C．　　　　 D． C　[如图，过A，B分别作准线l的垂线AD，BC，垂足分别为D，C，M是线段AB的中点，MN垂直准线l于N，由于MN是梯形ABCD的中位线，所以|MN|＝． 由抛物线的定义知|AD|＋|BC|＝|AF|＋|BF|＝3，所以|MN|＝，又由于准线l的方程为x＝－，所以线段AB中点到y轴的距离为＝，故选C．] 　1．解答本题的关键是利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离． 2．与抛物线有关的问题中，涉及到焦点的距离或到准线的距离时，一般是利用定义对两个距离进行相互转化． [跟进训练] 1．(1)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　) A．4 　 B．8 C．8 　 D．16 (2)动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 　 B．双曲线 C．抛物线 　 D．以上都不对 (1)B　(2)C　[(1)如图，由kAF＝－知∠AFM＝60°． 又AP∥MF，所 ... ...