【学霸笔记：同步精讲】第六章 §1 1.2 乘法公式与事件的独立性 1.3 全概率公式 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

1.2　乘法公式与事件的独立性 1.3　全概率公式 学习任务 核心素养 1．理解相互独立事件的定义及意义． 2．理解概率的乘法公式与全概率公式．(重点) 3．能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的概率乘法公式解题．(难点) 1．通过对相互独立事件的定义的学习，培养数学抽象素养． 2．借助概率的乘法公式与全概率公式的应用，培养数学运算与数学建模素养． 1．若P(B|A)＝P(B)，则事件A发生与否对事件B的发生是否有影响？ 2．当事件B发生不影响事件A的概率时，P(AB)等于什么？ 1．概率的乘法公式 当P(A)>0时，P(AB)＝P(B|A)·P(A)． 2．相互独立事件的概率 (1)一般地，事件A，B相互独立 P(AB)＝P(A)·P(B)． (2)如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 3．相互独立事件的性质 若A与B是相互独立事件，则A与，B与与也相互独立． 若A，B相互独立，则A与也相互独立，为什么？ [提示]　∵A，B相互独立， ∴P(B|A)＝P(B)＝，P()＝， ∴P(A∴相互独立． 4．全概率公式 (1)全概率公式 设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，则对任意一个事件A有 P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)． *(2)贝叶斯公式 设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)>0，P(Bi)>0(i＝1，2，…，n)，则P(Bi|A)＝． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立． (　　) (2)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)． (　　) (3)若事件A与相互独立，则A与B不一定相互独立． (　　) (4)P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标．”事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　) A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立 C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥 A　[对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A．] 3．甲、乙两人投球命中率分别为，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为_____． 　[事件“甲投球一次命中”记为A，“乙投球一次命中”记为B，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C，则C＝A)P(B)＝＝＝．] 4．若P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)＝_____． 　[∵P(A)＝， ∴P()＝， 由全概率公式得P(B)＝P(BA)＋P(B)＝＝．] 类型1　互斥事件与相互独立事件的判断 【例1】　判断下列各对事件是互斥事件，还是相互独立事件． (1)运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”； (2)甲、乙两运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”； (3)甲、乙两运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”； (4)甲、乙两运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”． [思路点拨]　利用独立事件、互斥事件的意义判断． [解]　(1)甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件； (2)甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与否，对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件； (3)甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件； (4)甲、乙各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，二者构不成互斥事件，也不可能是相互独立事件． 　判断两事件相互独立的方法 (1)若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A和B相互独立． (2)由事件本身的性质直接判定是否相互影响，从而得出事件是否相互独立． [跟进 ... ...