【学霸笔记：同步精讲】第三章 §2 2.2 空间向量的运算(二) 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

2.2　空间向量的运算(二) 学习任务 核心素养 1．掌握空间向量的数乘运算及其数乘向量的几何意义．(重点) 2．理解共线向量基本定理及推论．(重点、难点) 1．通过对空间向量的数乘运算及其运算律的应用，培养数学运算与直观想象素养． 2．通过对共线向量基本定理及推论的应用，培养逻辑推理素养． 空间向量的数乘运算也可以像平面向量数乘运算那样定义吗？空间向量共线也有与平面向量共线一样的判定和性质吗？为什么？ 1．向量的数乘运算 定义 与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积__仍然是一个____，称为向量的数乘 几何定义 λ＞0 向量λa与向量a方向____ λa的长度是a的长度的_____倍 λ＜0 向量λa与向量a方向____ λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝_____(λ∈R，μ∈R) 分配律 (λ＋μ)a＝_____；λ(a＋b)＝_____(其中λ∈R，μ∈R) 2．共线向量基本定理 空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得_____． (1)若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？ (2)在空间向量中，与非零向量a共线的单位向量有几个，分别是什么？ _____ _____ _____ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)当λ≠0时，a与－λa的方向相反． (　　) (2)|－2a|＝2|a|． (　　) (3)若＝λ，则点A，B，C共线． (　　) (4)若a＝λb，则λ＝． (　　) 2．已知λ∈R，则下列命题正确的是(　　) A．|λa|＝λ|a|　　　　　 B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| 　 D．|λa|＞0 3．若e1，e2不共线，则下列各组中的两个向量a，b共线的是(　　) A．a＝e1－e2，b＝e1＋e2 B．a＝e1－e2，b＝2e1－3e2 C．a＝e1－e2，b＝2e1－3e2 D．a＝e1＋e2，b＝e1－e2 4．化简3a＋2b－(a－4b)＝_____． 类型1　空间向量的数乘运算 【例1】　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简：； (2)设E是棱DD1上的点，且＝，试用表示． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ [母题探究] 本例中试用表示． _____ _____ _____ 　用已知向量表示未知向量，是向量线性运算的基础类型．解决这类问题，要注意两个方面： (1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律． (2)注意数形结合思想的运用，要结合图形，充分利用图形的几何性质，培养直观想象素养． 类型2　向量共线问题 【例2】　如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝，判断与是否共线． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ [母题探究] 在本例中，若M，N分别为AD1，BD的中点，证明：与共线． _____ _____ _____ 　向量共线的判定方法 判定向量a，b共线就是充分利用已知条件、结合图形特点找到实数λ，使b＝λa((a)≠0)成立． 类型3　点共线问题 【例3】　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝．求证：E，F，B三点共线． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使＝λ成立； (2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)； (3)对空间任一点O，有＝x＋y，其中x＋y＝1． [跟进训练] 如图，已知OE是平行六面体OADB-CFEG的体对角线，点M是△ABC的重心，求证：点M在直线OE上． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 1．已知在空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则)＝(　　) A．　　　 B．　 C．　　　 D． 2．设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，则(　　) A．λ＝μ＝0 　 B．a＝b＝0 C．λ＝0，b＝0 　 D．μ＝0，a＝0 3．已知a＝e1＋2e2＋e3，b＝3e1－2e2－e3，则3a－b＝(　　) A．4e2＋2e3 　 B．4e1＋e3 C．3e1＋6e2＋e3　 D．8e2＋2e3 4．已知|a|＝3，|b|＝5 ... ...