【学霸笔记：同步精讲】第三章 §3 3.1 空间向量基本定理 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3.1　空间向量基本定理 学习任务 核心素养 1．理解空间向量基本定理及其意义．(重点) 2．能够在具体问题中适当地选取一组基，并能用这组基表示空间中的任何一个向量．(难点) 通过空间向量基本定理及其应用，提升逻辑推理、数学运算、直观想象素养． 在平面向量中，我们学面向量基本定理及其意义，并根据该定理提出了研究平面向量的一种基本方法─基底法，那么在空间中是否有类似方法呢？ 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝x，AD＝y，AA1＝z，e1，e2，e3分别是的单位向量，试用向量e1，e2，e3表示向量，表示结果唯一吗？ 1．空间向量基本定理 条件 三个不共面的向量a，b，c和空间任意一个向量p 结论 存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc 2．基 (1)条件：三个向量a，b，c不共面． (2)结论：{a，b，c}叫作空间向量的一组基．其中向量a，b，c都叫作基向量． (1)0能不能作为一个基向量？ (2)空间向量的基唯一吗？ [提示]　(1)由于0与任何两个向量都共面，因此0不能作为基向量． (2)不唯一，只要三个向量不共面，都可以作为空间中所有向量的一组基． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基． (　　) (2)若{a，b，c}为空间向量的一组基，则{－a，b，2c}也可构成空间向量的一组基． (　　) (3)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一组基，则a，b，c共面． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 2．下列各组向量能构成一组基的是(　　) A．长方体ABCD-A1B1C1D1中的向量 B．三棱锥A-BCD中的向量 C．三棱柱ABC-A1B1C1中(E是A1C1的中点)的向量 D．四棱锥S-ABCD中的向量 [答案]　B 3．已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面A1B1C1D1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为(　　) A．x＝1，y＝1　　　　　　 B．x＝1，y＝ C．x＝，y＝ 　 D．x＝，y＝1 C　[如图，＝＝＝)．故x＝，y＝．] 4．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M在AC上，且|AM|＝|MC|，点N在A1D上，且|A1N|＝2|ND|，设＝a，＝b，＝c，则＝_____(用a，b，c表示)． (b＋c－a)　[＝＝a＋b．∵|AM|＝|MC|，∴＝－＝－(a＋b)．又|A1N|＝2|ND|，∴＝＝)＝(b－c)． ∴＝＝－(a＋b)＋c＋(b－c)＝(b＋c－a)．] 类型1　空间向量的基 【例1】　已知{e1，e2，e3}是空间的一组基，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{}能否作为空间的一组基． [解]　假设共面， 由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得＝x ＋y成立， 即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3． 因为{e1，e2，e3}是空间的一组基，所以e1，e2，e3不共面，所以 此方程组无解．即不存在实数x，y，使得＝x＋y成立，所以不共面． 故{}能作为空间的一组基． 　基的判断思路 判断给出的三个向量能否构成一组基，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面． [跟进训练] 1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一组基的向量组有(　　) A．1个　　　 B．2个　 C．3个　　　 D．0个 B　[因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面．如图， 令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝． 可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故选B．] 类型2　空间向量基本定理及应用 【例2】　如图，在三棱柱ABC-A′B′C ... ...