【学霸笔记：同步精讲】第三章 §3 3.2 空间向量运算的坐标表示及应用 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 学习任务 核心素养 1．理解空间向量坐标的概念．(重点) 2．掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直．(重点) 3．掌握空间向量的模、夹角公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．(重点、难点) 1．通过学习空间向量坐标的概念，培养数学抽象素养． 2．通过求空间向量的模、夹角，培养数学运算与直观想象素养． 3．通过判断两个向量的共线或垂直，培养逻辑推理素养． 1．在平面向量中，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b，a－b，λa，a·b分别等于什么？ 2．空间向量的坐标比平面向量的坐标多了一个竖坐标，如何把平面向量运算的坐标表示类比到空间向量运算中？ 1．空间向量的正交分解及其坐标表示 标准正交基 在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基 空间直 角坐标系 以i，j，k的公共起点O为原点，分别以i，j，k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz 空间向 量的坐标表示 对于空间任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk，则把x，y，z称作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝(x，y，z)．单位向量i，j，k都叫作坐标向量 2．空间向量的坐标运算 设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， 则(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)； (2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)； (3)λa＝(λx1，λy1，λz1)，λ∈R； (4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2． 3．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设向量a＝(x1，y，z1)，b＝(x2，y2，z2)(b≠0)．则a∥b a＝λb x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)； a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0； |a|＝＝； 若点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 |AB|＝||＝． cos〈a，b〉＝＝(a≠0，b≠0)． 空间向量的加法的坐标表示是如何推导的？ [提示]　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k， 所以a＋b＝＝i＋j＋k＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)在不同的坐标系中，同一向量的坐标仍相同． (　　) (2)已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a∥b，则＝＝． (　　) (3)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0． (　　) (4)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则||＝． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知向量a＋b＝(4，1，0)，a－b＝(0，1，－2)，则cos〈a，b〉＝(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． B　[由已知得a＝，b＝，所以cos〈a，b〉＝＝＝．] 3．已知a＝(2，1，3)，b＝(－4，5，x)，若a⊥b，则x＝_____． [答案]　1 4．已知点A的坐标是(－1，－2，6)，点B的坐标是(1，2，－6)，O为坐标原点，则向量与的夹角为_____． π　[因为＝(－1，－2，6)，＝(1，2，－6)， 所以cos〈〉＝＝－1， 所以向量与的夹角为π．] 类型1　空间向量的坐标运算 【例1】　(1)已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)； (2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P的坐标： ①＝)；②＝)． [解]　(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)； a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)； a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8． ... ...