【学霸笔记：同步精讲】第二章 §3 3.2 抛物线的简单几何性质 课件--2026版高中数学北师大版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第二章　圆锥曲线 §3　抛物线 3.2　抛物线的简单几何性质 学习任务 核心素养 1．掌握抛物线的简单几何性质．(重点) 2．能利用方程及数形结合思想解决焦半径、焦点弦等问题．(难点) 1．通过对抛物线几何性质的应用，培养数学运算素养． 2．通过对抛物线的焦半径和焦点弦以及抛物线最值问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养． 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)． 1．如何判断抛物线C的对称性？ 2．类比椭圆、双曲线范围的求法，在抛物线C：y2＝2px(p＞0)的方程中，求x，y的范围． 必备知识·情境导学探新知 1．抛物线的几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 性质 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 对称轴 ____ ____ 顶点 _____ 离心率 e＝_ x轴　 y轴　 (0，0)　 1　 2．过焦点的弦 若直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 (1)抛物线的焦半径|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋； (2)过焦点的弦|AB|＝_____； (3)当直线AB垂直于抛物线的对称轴时，弦AB叫作抛物线的通径，它的长为___，通径是过焦点最短的弦． x1＋x2＋p　 2p 思考　抛物线上的点到焦点的最短距离是多少？ [提示]　抛物线上的点到焦点的最短距离就是抛物线的顶点到焦点的距离． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． (　　) (2)抛物线只有一个焦点． (　　) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同． (　　) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线y2＝2px(p>0)的通径长为2p． (　　) × √ √ √ √ 2．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝±3y　　　　　 B．y2＝±6x C．x2＝±12y 　 D．x2＝±6y 3．抛物线x2＝2py(p>0)的对称轴为_____． 4．抛物线y2＝8x上到其焦点距离为5的点的坐标为_____． (3，－2)或(3，2)　[设P(x，y)为抛物线上一点，F为焦点，由|PF|＝x＋2＝5，得x＝3， 把x＝3代入y2＝8x，得y＝±2， 所以抛物线y2＝8x上到其焦点距离为5的点的坐标为(3，－2)或(3，2)．] y轴 (3，－2)或(3，2)　 关键能力·合作探究释疑难 类型1　抛物线几何性质的应用 【例1】　正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上．求这个正三角形的边长． [思路点拨]　正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们的公共对称轴，则容易求出等边三角形的边长． [解]　设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则＝＝2px2． 由|OA|＝|OB|，得＝，即(x1＋x2)(x1－x2)＝2px2－2px1． ∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0． ∵x1>0，x2>0，2p>0，∴x1－x2＝0，即x1＝x2． 由此可知|y1|＝|y2|，即点A，B关于x轴对称， ∴AB⊥x轴，且∠AOx＝30°，∴＝tan 30°＝． ∵x1＝，∴y1＝2p，|AB|＝2y1＝4p． ∴这个正三角形的边长为4p． 反思领悟　抛物线各元素间的关系 抛物线的焦点在其对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离与顶点到准线的距离均为． [跟进训练] 1．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为_____． y2＝3x或y2＝－3x　[根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为 ... ...