【学霸笔记：同步精讲】第三章 §4 4.3 第1课时 空间中的角 课件--2026版高中数学北师大版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第三章　空间向量与立体几何 §4　向量在立体几何中的应用 4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时　空间中的角 学习任务 核心素养 1．理解直线与平面的夹角的概念．(重点、易错点) 2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题．(重点、难点) 通过利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题，提升逻辑推理、直观想象与数学运算等数学素养． 前面，我们用空间向量研究了空间中的位置关系：平行与垂直，是否可以用空间向量研究空间中的数量关系呢？这要解决两个问题：一、用什么刻画空间中的数量关系；二、怎样刻画空间中的数量关系． 必备知识·情境导学探新知 1．两条直线的夹角 设两条直线a，b的夹角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝，θ∈． 2．直线与平面的夹角 设直线和平面的夹角为θ，且直线的方向向量为a，平面的法向量为b，则sin θ＝，θ∈． 3．平面与平面的夹角 平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos|＝，其中n1，n2分别为平面α，β的法向量． 思考　(1)二面角的平面角的取值范围是什么？ (2)二面角α-l-β的平面角与平面α，β的夹角有何关系？ (3)二面角α-l-β的平面角与平面α，β的法向量的夹角有何关系？ [提示]　(1)[0，π]．(2)相等或互补．(3)相等或互补． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两异面直线的夹角与两直线的方向向量的夹角一定相等． (　　) (2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝． (　　) (3)直线与平面的夹角的范围为． (　　) (4)设直线和平面的夹角为θ，且直线的方向向量为n1，平面的法向量为n2，则sin θ＝． (　　) × × × × 2．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线的夹角等于(　　) A．30°　　 B．150° C．30°或150° 　 D．以上均错 3．若v＝(1，1，0)是直线l的一个方向向量，n＝(1，2，－1)是平面α的一个法向量，则l与α的夹角为_____． 　[cos〈v，n〉＝＝， ∴〈v，n〉＝，∴l与α的夹角为＝．] 　 √ 4．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，则PB与CD的夹角为_____． 60°　 60°　[建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，所以＝(－1，0，1)，＝(1，－1，0)，所以cos〈〉＝＝＝－，又0°≤〈〉≤180°，所以〈〉＝120°，故PB与CD的夹角为60°．] 关键能力·合作探究释疑难 类型1　两条异面直线夹角的向量求法 【例1】　【链接教材P130例8】 如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D夹角的余弦值． [解]　以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)． 因为cos〈〉＝＝＝， 所以异面直线A1B与C1D夹角的余弦值为． 【教材原题P130例8】 例8　如图3－41，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3．求AC′与A′D夹角的余弦值． 图3－41 [解]　设s1，s2分别是AC′和A′D的一个方向向量，取 s1＝，s2＝． 因为A(0，0，0)，C′(2，1，3)，A′(0，0，3)，D(0，1，0)， 所以s1＝＝(2，1，3)， s2＝＝(0，1，－3)． 设AC′与A′D夹角为θ ... ...