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课件网) 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新” 打通应考之“脉” 第三章 空间向量与立体几何 章末综合提升 巩固层·知识整合 提升层·题型探究 类型1 利用空间向量证明垂直与平行 利用空间向量证明平行、垂直关系的方法 (1)证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量即可． (2)证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两个不共线向量来线性表示直线的方向向量． (3)证明面面平行的方法：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题． (4)证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直． (5)证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②转化为线线垂直问题． (6)证明面面垂直的方法：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题． 【例1】 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F． (1)证明：PA∥平面EDB； (2)证明：PB⊥平面EFD． [证明] 以D点为坐标原点，分别以所在的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系D-xyz(如图所示)．设DC＝a． (1)连接AC，交BD于G，连接EG． 依题意得A(a，0，0)，P(0，0，a)，E， 因为G是正方形ABCD的中心， 所以点G的坐标为，且＝(a，0，－a)，＝，所以＝2，即PA∥EG，而EG 平面EDB且PA 平面EDB， 所以PA∥平面EDB． (2)依题意得B(a，a，0)，＝(a，a，－a)， 又＝， 故＝0＋＝0， 所以PB⊥DE． 由已知EF⊥PB， 且EF∩DE＝E， 所以PB⊥平面EFD． 类型2 利用空间向量求空间角 利用空间角可对直线与平面的位置关系作定量分析，利用空间向量可将空间角转化为空间向量的夹角来求解． (1)求异面直线所成的角：找出(或求出)两异面直线a，b的方向向量v1，v2，若θ为a与b的夹角，则有cos θ＝，然后求出θ即可． (2)求直线与平面的夹角：找出(或求出)直线的一个方向向量v和平面的一个法向量n，设直线与平面的夹角为θ，则有sin θ＝．当〈v，n〉为锐角时，θ＝－〈v，n〉；当〈v，n〉为钝角时，θ＝〈v，n〉－． (3)求二面角：设n1是平面α的法向量，n2是平面β的法向量，θ为二面角的平面角，则|cos θ|＝，θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉，需借助空间几何体进行具体判断． 【例2】 如图，在空间直角坐标系中，已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求： (1)A1D与EF夹角的大小； (2)A1F与平面B1EB夹角的正弦值； (3)平面CD1B1与平面D1B1B夹角的余弦值． [解] (1)设正方体棱长为1，则＝(－1，0，－1)，＝，∴cos〈〉＝＝，∴A1D与EF的夹角是60°． (2)＝(－1，，－1)，＝(0，1，0)， 则cos〈〉＝＝， 又是平面B1EB的一个法向量， ∴A1F与平面B1EB夹角的正弦值为． (3)根据图形易得＝(－1，1，1)为平面CD1B1的一个法向量，＝(－1，1，0)为平面BB1D1的一个法向量． cos〈〉＝＝． ∵平面CD1B1与平面D1B1B的夹角为锐角， ∴其余弦值为． 类型3 用空间向量求空间距离 1．点到直线的距离的向量求法 先求直线的方向向量，再在直线上任取一点，与原来点构成向量，利用公式d＝计算． 2．点到平面的距离的向量求法 先求出平面的法向量，再在平面内任取一点，与原来点构成向量，此向量在法向量上的投影的绝对值，就是点到平面的距离，即d＝． 【例3】 如图所示，已知四边形ABCD，EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P是ED的中点，求点P到平面EFB的距离． [解] 如图，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，E(a，0，a)，F(0，a，a)，则 ... ...
