【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.3 3.3.2 第2课时 抛物线的方程及性质的应用 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

第2课时　抛物线的方程及性质的应用 学习任务 核心素养 1．会解决与抛物线有关的轨迹问题和中点弦问题．(重点) 2．能解决一些与抛物线有关的综合问题．(难点) 通过解决与抛物线有关的综合问题，提升逻辑推理、数学运算等素养． 一条斜率为k的直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，类似的你还能得到其他结论吗？ 知识点　与抛物线有关的焦点弦的相关结论 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为直线AB的倾斜角)； ③＝； ④S△AOB＝(α为直线AB的倾斜角)； ⑤以AB为直径的圆必与准线l相切． 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，你能证明＝这个结论吗？ [提示]　(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝． 由 得y2＝p2．∴y＝±p． 从而|AF|＝|BF|＝p， 所以＝． (2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝k， 由得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0， ∴x1＋x2＝＝p＋，x1x2＝， ∴＝＝＝ ＝＝＝， 即＝． 综上，＝． 直线l过抛物线x2＝4y的焦点F，与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝_____． 　[由＝得＝1， 解得|BF|＝．] 类型1　和抛物线有关的轨迹问题 【例1】　设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大． (1)求点P的轨迹方程； (2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值． [解]　(1)法一：(直接法)过点P作x轴的垂线且垂足为点N(图略)，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝， ∴＝y＋，化简得x2＝2y．故点P的轨迹方程为x2＝2y． 法二：(定义法)由题意知，点P到定点M与直线y＝－的距离相等，则点P的轨迹是以点M为焦点，以直线y＝－为准线的抛物线，且p＝1． ∴点p的轨迹方程为x2＝2y． (2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，化简得x2－2kx－2＝0， ∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2，Δ＝4k2＋8>0． ∵|AB|＝· ＝· ＝2， ∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1． 　和抛物线有关的轨迹方程的求解方法 (1)直接法：根据给定的条件，直接用两点间距离公式和点到直线的距离公式求解． (2)定义法：转化条件，把所求问题转化为到定点与定直线距离相等的点的轨迹问题，然后根据抛物线的定义求解． [跟进训练] 1．若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程． [解]　设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径r＝1． 因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1． 又动圆M与已知直线x＋1＝0相切， 所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R． 所以|MC|＝d＋1． 即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，p＝4， 故其方程为y2＝8x． 类型2　与抛物线弦的中点有关的问题 【例2】　(1)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．25 (2)过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程． 类比椭圆中弦的中点问题的解决方法，思考抛物线中弦的中点问题如何解决？ (1)A　[由题意知，抛物线的焦点坐标为(2，0)，直线l过焦点F，所以kl＝＝， 所以直线l的方程为y＝(x－2)． 由得B点的坐标为． 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝． 所以AB的中点到准线的距离为，故选A．] (2)[解]　法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有＝＝8x2， ∴(y1＋y2)(y1 ... ...