中小学教育资源及组卷应用平台 3.3探索与表达规律培优训练北师大版2025—2026学年七年级上册 一、选择题 1．如图，它们是由边长相同的小正方形组成的有规律的图案，其中第1个图中有5个小正方形涂有阴影，第2个图中有9个小正方形涂有阴影，第3个图中有13个小正方形涂有阴影……按照这样的规律，第10个图案中涂有阴影的小正方形个数是（ ） A．20 B．21 C．40 D．41 2．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，，若分裂后，其中有一个奇数是45，则m的值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．把有理数a代入得到，称为第一次操作，再将作为a的值代入得到，称为第二次操作，…，以此类推，若，经过第2025次操作后得到的结果是（ ） A． B． C．5 D．17 4．如图，依次连接边长为1的小正方形各边的中点，得到第二个小正方形，再依次连接第二个小正方形各边的中点得到第三个小正方形，按这样的规律第2025个小正方形的面积为（ ） A． B． C． D． 5．观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（ ） A． B． C． D． 6．观察下列算式：，…，根据上述算式中的规律，推测的个位数字是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．张老师将正整数按照如图所示的方式依次排列，假设1600在第m行，从左向右第n个位置，则的值等于（ ） A．38 B．39 C．40 D．41 8．如图，用火柴棒按以下方式搭小鱼，搭1条小鱼用8根火柴棒，搭2条小鱼用14根火柴棒，搭3条小鱼用20根火柴棒，按这样的方法搭n条小鱼，需要火柴棒的根数为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．黑白两种颜色的正六边形，按如图所示的规律拼图案，照这样的规律下去，第 个图案中的白正六边形比黑正六边形多32个． 10．如图是一组有规律的图案，第1个图案中有6个涂有阴影的小矩形，第2个图案中有10个涂有阴影的小矩形，第3个图案中有14个涂有阴影的小矩形……按此规律，第n个图案中涂有阴影的小矩形的个数为 ．（用含n的代数式表示） 11．让我们轻松一下，做一个数字游戏： 第一步：取一个自然数 ，计算， 将所得结果记为； 第二步：算出的各位数字之和得，计算 ，结果为； 第三步：算出的各位数字之和得，再计算 ，结果为；… 依此类推，则 12．如图都是由同样大小的正三角形按一定的规律组成的，其中第1个图形共有1个正三角形，第2个图形中共有5个正三角形，第3个图形中共有13个正三角形…，按照此规律第5个图形中正三角形的个数为 ． 三、解答题 13．探索规律 观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： (1)请猜想 ； (2)请猜想 ； (3)请用上述规律计算： 14．用火柴棒按如图的方式搭图形． (1)完成下表： 图形编号 1 2 3 4 5 … 火柴棒根数 5 9 … (2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？ (3)搭第个图形需要多少根火柴棒？ 15．【阅读中思考】 设a是不为0和1的有理数，我们把1与a的倒数的差，即称为a的倒数差，如：2的倒数差是，的倒数差是． 【探索中理解】 若，是a的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． (1)①直接写出结果_____，_____，_____； ②写出计算的算式，并求值； (2)根据以上的计算结果，猜想_____；（直接写出答案） (3)求的值，并写出计算过程． 16．观察下列等式： ，，，… 将以上三个式子两边分别相加得：． (1)猜想并写出： ；（n正整数） (2)直接写出下列式子得计算结果： ； (3)计算：． 17．我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作Sn，那么有： ； ； ； … 观察上面式子的规律，完成下面各题． (1)猜想： （用含n的式子表示）； (2)依规律，直接写出的值为 ； (3)依规律，求的值． 18．观察下列式子的变形规律： ，，． (1)类比思考：_____； (2)归纳猜想：若n为正整数，那么_____； ... ...
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