第二课时 抽象函数的单调性及函数最值 学习目标 理解函数的最大值和最小值的概念与几何意义.培养数学运算与逻辑推理的核心素养. 知识探究 1.抽象函数的单调性 没有给出具体解析式的函数,称为抽象函数. 判断抽象函数的单调性,一是“凑”,凑定义或凑已知条件,从而使用定义或已知条件得出单调性的结论;二是赋值法,根据条件等式给变量赋值,反复利用已知等式,达到判号的目的. 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M(m) 条件 x∈D, 都有f(x)≤M, x0∈D, 使得f(x0)=M x∈D, 都有f(x)≥m, x0∈D, 使得f(x0)=m 续 表 结论 称M是函数y=f(x)的最大值 称m是函数y=f(x)的最小值 判断最值的两个条件: (1)对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))成立; (2)f(x0)是一个函数值,它是值域的一个元素. 两个条件缺一不可,若只有前者,f(x0)不是最大(小)值,如f(x)=-x2≤1成立,但1不是最大值,更不能只有后者,那样就丢掉了最大值的核心了. [思考] 若函数的定义域是开区间,则函数能存在最值吗 提示:可以,如f(x)=x2(x∈(-1,2)),但是函数存在最小值f(0)=0. (1)若函数f(x),g(x)在给定的区间上具有单调性,则 ①函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②C >0时,函数f(x)与C·f(x)具有相同的单调性;C<0时,函数f(x)与C·f(x)具有相反的单调性. ③若f(x)≠0,则函数f(x)与具有相反的单调性. ④若函数f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数;若f(x)是增函数,g(x)是减函数,则f(x)-g(x)是增函数. (2)若f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)≤f(x)≤f(b),即最大值为f(b),最小值为 f(a);若f(x)在[a,b]上单调递减,则f(b)≤f(x)≤f(a),即最大值为f(a),最小值为f(b). (3)根据函数的单调性求参数的值或取值范围问题是将含参数问题转化为恒成立问题,再转化为求函数在其定义域上的最大值、最小值问题. ①a>f(x)在[m,n]上恒成立 a>f(x)在[m,n]上的最大值. ②ax1>0, 所以x1+x2>0,x2-x1>0,(x1x2)2>0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减. (2)由(1)知函数f(x)在区间[1,3]上单调递减, 所以当x=1时,函数f(x)取最大值,最大值为f(1)=2, 当x=3时,函数f(x)取最小值,最小值为f(3)=. 用单调性求函数的最值的一般步骤 (1)判断函数的单调性. (2)利用单调性求出最值. 提醒:(1)求最值勿忘求定义域. (2)闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定注意. [针对训练] 已知函数f(x)=,求函数f(x)在区间[ ... ...
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