(
课件网) 第十三章 三角形 第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 第1课时 三角形的内角和定理 学 习 目 标 1 2 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.（重点） 会运用三角形内角和定理进行计算.（难点） 新课导入 探究 你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗？下图给出了两种剪拼的方法．从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？ 过三角形的一个顶点作一条直线平行于该顶点的对边，由平行线的性质和平角的定义就能证明三角形的内角和. 知识讲解 ★ 三角形内角和定理的证明 三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°. 如图，将△ABC 的∠B 和∠C 剪下，分别拼在∠A 的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A 的直线l，移动后的∠B 和∠C各有一条边在直线l上．想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？ 你能由这个图想出证明“三角形的内角和等于１８０°” 的方法吗？ 验证结论： 三角形的内角和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC，如图， ∴∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，如图， ∴ ∠A=∠1 . (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 C B A E D F 证法3：如图，过D作DE∥AC,作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°, ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. 总结归纳 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. ★思路总结 为了证明三角形三个内角的和为180°,常将三个角转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. ★作辅助线 解：由∠ BAC ＝40°，AD是△ ABC的角平分线，得∠BAD＝∠BAC＝20°． 在△ ABD中， ∠ADB＝180°-∠B-∠BAD＝180°-75°-20°＝85°． 例1 如图，在△ABC中，∠BAC＝ ４０°，∠B＝７５°，AD是△ ABC的角平分线．求∠ADB的度数． ★ 三角形内角和定理的应用 例2 如图所示，BE 平分∠ ABD，CF 平分∠ ACD，BE，CF 交于点G，已知∠ BDC ＝ 140°，∠ BGC ＝ 110°，求∠ A 的度数. 1. 与角平分线综合求角度 在△CDB 中，∵ ∠BDC ＝ 140°， ∴ ∠DBC+ ∠BCD ＝ 180° - ∠BDC ＝ 40° . 在△CGB 中，∵ ∠BGC ＝ 110°， ∴ ∠GBC+ ∠BCG ＝ 180° - ∠BGC ＝ 70° . 解：如图所示，连接BC. ∵ BG，CG 分别平分∠ABD，∠ACD， ∴ ∠ABG+ ∠ACG ＝∠GBD+ ∠DCG ＝ 30° . ∴ ∠ABC+ ∠BCA ＝ 2（∠ABG+ ∠ACG）+（∠DBC+ ∠BCD） ＝ 2×30° +40°＝ 110° . 在△ABC 中， ∠A ＝ 180° -（∠ABC+ ∠BCA）＝ 70° . ∴ ∠GBD+ ∠DCG ＝∠GBC+ ∠BCG-（∠DBC+ ∠BCD） ＝ 70° -40° ＝ 30° . 2. 与高、角平分线结合求角度 例3 如图所示，在△ 中，∠，∠， AE是BC 边上的高，是∠ 的平分线. 求∠ 的度数. 解：在△ 中，∵ ∠，∠， ∴ ∠ ∠∠＝ . ∵ 是∠的平分线， ∴ ∠ ＝ ∠ ＝ . ∵ 是 边上的高，∴ ∠. 在△ 中，∵ ∠ ＝ ，∠， ∴ ∠∠∠. ∴ ∠∠ ∠. 3.三角形的内角和定理在实际问题中的应用 例4 如图是A， B， C 三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50 ... ...
