5.7 三角函数的应用 【学习目标】 1.会用三角函数模型解决一些简单的实际问题. 2.体会三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型. 3.通过学习三角函数模型的实际应用,使学生学会把实际问题抽象为数学问题,即学会建立数学模型的思想方法. ◆ 知识点一 函数y=Asin(ωx+φ)中各量的 物理意义 简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0. (1)A就是这个简谐运动的 ,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的 ; (2)简谐运动的周期是T= ,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间; (3)简谐运动的频率由公式 给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数; (4) 称为相位;x=0时的相位φ称为 . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值为A.( ) (2)y=Asin(ωx-φ)的初相为φ. ( ) (3)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s,振幅为5 cm,则该振子在2 s内通过的路程为50 cm. ( ) ◆ 知识点二 解答三角函数应用题的基本步骤 应用三角函数模型解决实际问题时,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型.解答三角函数应用题的步骤可分为四步:审题、建模、解模、还原评价. (1)审题:先审清楚题目条件、要求,理解数学关系. (2)建模:在细心阅读与深入理解题意、分析题目条件(如周期性等)的基础上,引进数学符号,将试题中的非数学语言转化为数学语言,然后根据题意,列出数量关系,即建立三角函数模型,这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求,这样便将实际问题转化成了数学问题. (3)解模:对建立的三角函数模型进行分析研究,运用三角函数的有关知识进行推理、运算,使问题得到解决. (4)还原评价:把数学结论还原为实际问题的解答. ◆ 探究点一 三角函数模型在物理学中的应用 例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin,t∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图,并回答下列问题. (1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少 (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少 (3)经过多长时间小球往复振动一次 变式 已知交流电的电压U(单位:V)随时间t(单位:s)的变化可用U=Asin(ωt+φ)表示,其部分图象如图所示. (1)求函数U=Asin(ωt+φ)的解析式; (2)如果电压U在一段时间[t1,t2]内至少达到一次最大值和一次最小值,那么t2-t1的最小值是多少 [素养小结] 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、交变电流、交变电压等方面,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法. ◆ 探究点二 三角函数模型在日常生活中的应用 例2 某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律,因此第n个月的月平均最高气温G(n)可近似地用函数G(n)=Acos(ωn+φ)+k来刻画,其中正整数n表示月份且n∈[1,12],例如n=1表示1月份,A和k是正整数,ω>0,φ∈(0,π).统计发现,该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同,1月份的月平均最高气温为3 ℃,是一年中月平均最高气温最低的月份,随后逐月递增,直到7月份达到最高,为33 ℃. (1)求G(n)的解析式; (2)某植物在月平均最高气温低于13 ℃的环境中才可生存,求一年中该植物在该地区可生存几个月. 变式 [2025·天津河东区高一期末] 某大桥是交通要塞,每天担负着巨大的车流量.已知其车流量y(单位:千辆)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记为y=f(t),下表是某日桥上的车流量的数据: t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/千辆 3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 3.1 5.0 3.1 经长期观察,函数y=f(t)的图象 ... ...
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