【学霸笔记：同步精讲】5.7 三角函数的应用 讲义----2026版高中数学人教A版必修第一册

5.7　三角函数的应用 [学习目标]　1．了解y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义．(数学抽象) 2．会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(数学建模) 探究1　简谐运动 问题　如图，某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如表所示． t 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 y －20.0 －10.1 10.3 20.0 10.3 －10.1 －20.0 (1)表格中的数据具有什么特点？ _____ _____ _____ (2)具有该特点的数据可以借助什么模型来刻画？试根据这些数据确定位移y关于时间t的函数解析式． _____ _____ _____ [新知生成] 1．在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”． 2．简谐运动可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0． (1)A就是这个简谐运动的____，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的_____； (2)简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； (3)简谐运动的频率由公式f ＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； (4)_____称为相位；x＝0时的相位φ称为____． [典例讲评]　1．(源自苏教版教材)在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向．已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．求： (1)物体对平衡位置的位移x(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系； (2)该物体在t＝5 s时的位置． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)(ω>0，A>0)来表示运动的位移y随时间x的变化规律．主要体现在单摆、弹簧振子、电流、机械波等问题． [学以致用]　【链接教材P244练习T1】 1．(1)(多选)某弹簧振子在振动过程中时间t(单位：s)与位移y(单位：m)满足解析式y＝10cos ，则下列关于该简谐运动的说法中正确的是(　　) A．振幅为10 　 B．周期为 C．频率为 　 D．初相为 (2)如图是电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数I＝A sin (A>0，ω>0)，t∈[0，＋∞)的图象，则当t＝ s时，电流强度是_____A． _____ _____ _____ 探究2　三角函数在实际生活中的应用 [典例讲评]　【链接教材P245例1】 2．(源自苏教版教材)一半径为3 m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间． (1)将点P到水面的距离z(单位：m．在水面下，则z为负数)表示为时间t(单位：s)的函数； (2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？ [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　解三角函数应用问题的基本步骤 提醒：关注实际意义注明函数的定义域． [学以致用]　【链接教材P249习题5.7T1】 2．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t)＝10－2sin ，t∈[0，24]． (1)求实验室这一天的最大温差； (2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ _____ _____ _____ 探究3　数据拟合模型的应用 [典例讲评]　【链接教材P246例2】 3．某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(单位：米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，某天时刻t与浪高数据的平均值如表： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1)作出这些数据的散点图； (2)从y＝ax＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b和y＝A tan (ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式； (3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． [尝试解答]　_____ __ ... ...