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课件网) 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 探究点一 直线与圆的位置关系的判定 探究点二 直线与圆的相交弦问题 探究点三 圆的切线 探究点四 利用直线与圆的方程解决实际问题 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册A 练习册B 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能用几何方法和代数方法描述直线与圆的三种位置关系. 2.能根据给定直线、圆的方程，通过研究联立方程组解的情况或 通过计算圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系. 3.知道直线与圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，会用 直线与圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题. 知识点一 直线与圆的位置关系 直线与圆 的位置关 系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 ___个 ___个 ___个 几何 法 计算圆心到直线的距离： _____ _____ 代数 法 由 消元得到一元二次方程，计算方程的判别式 _____ _____ 2 1 0 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.( ) × [解析] 直线与圆有公共点,也可能相切. （2）若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次 方程必有解.( ) √ [解析] 若直线与圆相交,则必有公共点,故直线与圆的方程联立消元后 得到的一元二次方程必有解. （3）若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得 到的一元二次方程无解.( ) √ [解析] 若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆相离,故直线与圆的 方程联立消元后得到的一元二次方程无解. 知识点二 利用坐标法解决平面几何问题 利用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的 几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 探究点一 直线与圆的位置关系的判定 例1 若直线与圆 有如下位置关系： ①相交，②相切，③相离.试分别求实数 的值或取值范围． 解：方法一：由消去 ，得 ， 则 . ①当直线与圆相交时，，即 ，解得 .②当直线与圆相切时，，即或 . ③当直线与圆相离时，，即或 . 方法二：圆的圆心坐标为，半径 ， 则圆心到直线的距离 . ①当直线与圆相交时，，即，解得 . ②当直线与圆相切时，，即，解得或 . ③当直线与圆相离时，，即，解得或 . 变式（1）［2025·潍坊高二期中］直线 与圆 的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 [解析] 由得 ，由 解得所以直线 过定点 ，而点在圆 内，所以直线与圆相交.故选A. √ （2）［2025·绵阳南山中学高二期中］直线 与圆 的位置关系为( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定 [解析] 圆心坐标为，半径，圆心到直线 的距离 ，所以直线与圆 相切，故选C. √ ［素养小结］ 直线与圆的位置关系的判断方法: （1）几何法:由圆心到直线的距离
与圆的半径
的大小关系判断. （2）代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. （3）直线系法:若直线恒过定点,则可通过判断定点与圆的位置关系来 判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系. 探究点二 直线与圆的相交弦问题 例2 已知圆内有一点,过点且倾斜角为 的 直线与圆相交于， 两点. （1）当时,求弦 的长; 解：方法一（几何法）当时,直线的斜率 , 所以直线的方程为 , 即，可得圆心到直线的距离 . 又半径,所以弦长 . 方法二（代数法）当时，直线的斜率 ， 所以直线的方程为 ， 即，代入，得 . 设， ，则， ， 所以 . （2）当弦的长最短时,求直线 的方程. 解：连接,当弦的长最短时, ,因为,所以, 所 ... ...
