第三章 拓展微课（二） 抛物线焦点弦的性质（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

拓展微课(二)　抛物线焦点弦的性质 典型例题 例1　证明:方法一:若直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k,其中k≠0,与方程y2=2px联立,得k2x2-p(k2+2)x+=0, ∴x1+x2=p,x1x2=, ∴|AB|=x1+x2+p=p+p=2p=2p=; 若直线AB的斜率不存在,则直线AB的方程为x=,θ=, 易得|AB|=2p=,也满足上式. 综上,|AB|=. 方法二:当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为x=my+, 与方程y2=2px联立,得y2-2pmy-p2=0, ∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2, ∴|AB|=x1+x2+p=++p=m(y1+y2)+2p=2p(m2+1)=2p=. 当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=,θ=,易得|AB|=2p=,满足上式. 综上,|AB|=. 例2　证明: (1)若直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k,其中k≠0, 与方程y2=2px联立,得k2x2-p(k2+2)x+=0(*), ∴x1+x2=p,x1x2=, ∴+=+== =. 若直线AB的斜率不存在,则直线AB:x=,易求得|AF|=|BF|=p, ∴+=. 综上,命题得证. (2)由A(x1,y1),B(x2,y2)得C,D, 由(1)可得,当直线AB的斜率存在时,y1y2=k·k=k2=-p2, 当直线AB的斜率不存在时,y1y2=-p2,∴kOD========kOA, ∴A,O,D三点共线,同理可证B,O,C三点共线. 【归纳总结】 　-p2　　　拓展微课(二)　抛物线焦点弦的性质 1.B　[解析] 由抛物线焦点弦的性质知,x1x2=,y1y2=-p2,故==-4,故选B. 2.C　[解析] 因为过抛物线C:y2=3x的焦点,且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,所以|AB|===12.故选C. 3.A　[解析] 易知l的斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+=x1+1=4,得x1=3,因为点A(3,y1)在C上,所以=4×3=12,又点A在第一象限,所以y1=2,故A(3,2),又F(1,0),所以kl=kAF==,所以直线l的方程为y-0=(x-1),即y=(x-1).由得3x2-10x+3=0,则x1+x2=,由抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p=+2=.故选A. 4.AD　[解析] 设直线AB的方程为x=ty+,将x=ty+代入y2=2px,得y2-2pty-p2=0,则y1+y2=2pt,y1y2=-p2,x1+x2=t(y1+y2)+p=2pt2+p,x1x2==.|AB|=|y1-y2|=2p(1+t2),当t=0时,|AB|最小,此时直线AB与x轴垂直,故A中说法正确;+=+==,故B中说法错误;以弦AB为直径的圆的圆心为,半径为|AB|=(x1+x2+p)=pt2+p,圆心到准线的距离d=(x1+x2)+p=pt2+p=|AB|,所以圆与准线x=-相切,故C中说法错误;y1y2=-p2,故D中说法正确.故选AD. 5.ACD　[解析] 由题意得F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+1,AF的中点到y轴的距离d=(x1+1)=|AF|,所以以AF为直径的圆与y轴相切,故A正确;对于B,设直线AB的倾斜角为θ,过点A作AA1⊥l于点A1,过点B作BB1⊥l于点B1,如图,则|AF|cos θ+p=|AF|,则|AF|=,同理可得|BF|=,所以|AB|=|AF|+|BF|=+===,解得cos θ=±,所以θ=60°或θ=120°,故B错误;对于C,设线段AB的中点M(x0,y0),设直线AB:x=my+1,由消去x,得y2-4my-4=0,则Δ=16(m2+1)>0,y1+y2=4m,y1y2=-4,所以y0==2m,x0=my0+1=2m2+1,所以M(2m2+1,2m),P(m2,2m),N(-1,2m),|PM|=m2+1=|PN|,故C正确;对于D,①当直线AB的斜率不存在时,易得|AB|=2p=4,|EF|=2,所以=2;②当直线AB的斜率存在时,设直线AB:y=k(x-1)(k≠0), 由得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,则Δ=4(k2+2)2-4k4=16(k2+1)>0,所以x1+x2=,x1x2=1,所以|AB|== = = ,易知直线EF的方程为y=-(x-1),令x=-1,得E,所以|EF|==2,所以==2>2.综上可得,的最小值为2,故D正确.故选ACD. 6.BD　[解析] 对于A选项,如图,过点P作PP'⊥l,垂足为P',由抛物线的定义知|PP'|=|PF|,所以Rt△PFQ与Rt△PP'Q全等,则∠FPQ=∠P'PQ,因为|PF|=2+,|QF|=,∠PFQ=90°,所以tan∠FPQ==-1,则tan∠P'PF=tan 2∠FPQ===1,则∠P'PF=45°,所以直线PF的倾斜角为45°,故A错误;对于B选项,设直线l与x轴交于点K,则|KF|=p,由上可知,∠QFK=45°,则△QFK为等腰直角三角形,因为|QF|=,则p2+p2=2,得p=1,所以抛物线方程为y2=2x,故B正确;对于C选项,由上可知,直线PF的方程为y=x-,设P(x1,y1),M(x2,y2),则|PF|=x1+=2+,可得x1=+,由整理得x2-3x+=0,则x1+x2=3,所以x2=-,则| ... ...