【学霸笔记：同步精讲】第4章 4.1 指数 讲义----2026版高中数学苏教版必修第一册

4.1　指数 学习任务 核心素养 1．理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点) 2．掌握有理数指数幂的运算法则．(重点) 3．了解实数指数幂的意义． 1．借助根式的性质对根式进行运算，提升数学运算核心素养． 2．通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养． 3．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养． 我们已经知道，，…是正整数指数幂，它们的值分别为，…．那么的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识．下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数．为此，我们需要先学习根式的知识． 知识点1　基本概念 1．平方根与立方根的概念 如果x2＝a，那么x称为a的_____；如果x3＝a，那么x称为a的_____．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有___个，它们互为相反数，一个数的立方根_____． 2．a的n次方根 (1)定义：一般地，如果xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的_____，式子叫作根式，其中n叫作_____，a叫作_____． (2)几个规定 ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个_____，负数的n次方根是一个_____，这时，a的n次方根只有一个，记作x＝； ②当n为偶数时，正数的n次方根有____个，它们互为_____，这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示，它们可以合并写成±(a>0)的形式； ③0的n次方根等于___(无论n为奇数，还是为偶数)． 1．是根式吗？根式一定是无理式吗？ _____ 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)16的四次方根为2． (　　) (2)＝π－4． (　　) (3)＝－2． (　　) 知识点2　根式的性质 (1)＝___(n∈N*，且n>1)； (2)＝a(n为大于1的奇数)； (3)＝|a|＝(n为大于1的偶数)； (4)n＝___(n∈N*，且n>1，a使得有意义)． 2．＝a对任意实数a都成立吗？ _____ 2．若n是偶数，＝x－1，则x的取值范围为_____． 知识点3　分数指数幂的意义 一般地，我们规定： ＝__(a>0，m，n均为正整数，n>1)； (a>0，m，n均为正整数，n>1)； (3)0的正分数指数幂为___，0的负分数指数幂_____，0的0次幂_____． 3．(1)可化为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． (2)可化为_____． 知识点4　有理数指数幂的运算性质 (1)asat＝_____； (2)(as)t＝_____； (3)(ab)t＝_____， 其中s，t∈Q，a>0，b>0． 4．化简的结果为_____． 类型1　根式的性质 【例1】【链接教材P82例1】 求下列各式的值． (1)；(2)；(3)；(4)； (5)，x∈(－3，3)． [尝试解答]_____ _____ 　化简根式的依据及注意 化简的依据是根式的性质，化简时要注意是奇次还是偶次根式，另外注意与n的区别． [跟进训练] 1．化简求值． (1)； (2)； (3)若＝0，求yx． _____ 类型2　根式与分数指数幂的互化 【例2】【链接教材P84例3】 将下列根式化成分数指数幂的形式． (1)(x＞0)； ． [尝试解答]_____ _____ 　1．根式和分数指数幂互化时应熟练应用和．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 2．分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用． [跟进训练] 2．用分数指数幂表示下列各式． (1)(a>0，b>0)； (2)(a>0，b>0)． _____ 类型3　分数指数幂的运算 【例3】(1)计算：＋16-0.75＋； (2)化简：(a>0)． [思路点拨]　将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算． [尝试解答]_____ _____ 　指数幂与根式运算的技巧 (1)有理数指数幂的运算技巧 ①运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算． ②指数的处理：负指数先化为正指数． ③底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数， ... ...