第17章 小结与复习（共15张PPT）2025-2026学年人教版数学八年级上册

(课件网) 小结与复习 整式的乘法 乘法公式 (a + b)(a－b) = a2－b2 (a±b)2= a2±2ab + b2 相反变形 因式分解 相反变形 特殊 形式 ①提公因式法 ②公式法 因式分解 把一个多项式化为几个_____的____的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 1. 因式分解的定义 整式 积 整式的乘法 因式分解 2. 因式分解的方法 (1) 提公因式法： (2) 公式法 ① 平方差公式： ② 完全平方公式： pa + pb + pc = p( a + b + c ) a2 - b2 = (a + b)(a - b) a2±2ab + b2 = (a±b)2 例1 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( ) A．a(x－y)＝ax－ay B．x2－1＝(x＋1)(x－1) C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 考点一 因式分解的概念 B 【归纳总结】 判断是否是因式分解的关键是结果必须为几个整式的乘积的形式 . 【变式训练】 1. 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是 ( ). A. a(m + n) = am + an B. x -y +1= (x + y)(x - y) + 1 C. 10x - 5x = 5x(2x - 1) D. (a + b) = a +2ab+b 2.下列式子从左到右变形是因式分解的是 ( ). A. 10xy = 2x · 5y B. (x+y)(x-y) = x - y C. x - 3x + 1 = x(x - 3) + 1 D. x +x-6 = (x + 3)(x - 2) C D 考点一 因式分解的概念 考点二 提公因式法因式分解 例2 把下列各式分解因式： (1) 5xy - 10x； (2) m(a + b ) - n(a + b ). 解：(1) 原式 = 5x · y - 5x · 2 = 5x(y - 2)； (2) 原式 = (a + b )(m - n). 3.利用提公因式法分解多项式 x3 + x2 可以得到( ). A. x - 1 B. x (x + 1) C. x + 1 D. x - x 解析：x3 + x2 = x2(x + 1) . 【变式训练】 B 考点三 公式法因式分解 例3 (1)下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是( ). A. a + 4 B. a3 - 8 C. -a + 4 D. -a - 4 (2) 下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数 为 ( ) . ① x - 10x + 25；② -4a + 4a - 1； ③ x - 2x - 1； A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 ④ -m + m - ⑤ 4x4 - x + . C B 考点三 公式法因式分解 例4 利用因式分解说明： 当 n 为自然数时，(n + 7)2 - (n - 5)2 能被 24 整除. 解：(n + 7)2 - (n - 5)2 = [ (n + 7) + (n - 5) ][ (n + 7) - (n - 5) ] = ( 2n + 2 )( n + 7 - n + 5) = 12( 2n + 2 ) = 24(n + 1). 因为 n 为自然数 ，故 n + 1 也为自然数，24(n + 1) 能被 24 整除，所以 (n + 7)2 - (n - 5)2 能被 24 整除. 例5 先阅读下面的内容，再解答问题： 求多项式 m + 2mn + 2n - 6n + 13 的最小值. 解：m + 2mn + 2n - 6n + 13 = (m + 2mn + n ) + (n - 6n + 9) + 4 = (m + n) + (n - 3) + 4. 因为(m+ n) ≥0，(n-3) ≥0， 所以多项式 m + 2mn + 2n - 6n + 13 的最小值是 4 . 求多项式 -2x + 4xy - 3y - 6y + 7 的最大值. 考点三 公式法因式分解 求多项式 -2x + 4xy - 3y - 6y + 7 的最大值. 解：-2x + 4xy - 3y - 6y + 7 = -2x + 4xy - 2y - y - 6y - 9 + 16 = -2( x - 2xy + y ) -( y + 6y + 9 ) + 16 = -2( x - y) - (y + 3)2 + 16. 因为 -2( x - y) ≤0，-(y + 3)2≤0， 所以多项式 -2x + 4xy -3y - 6y + 7 的最大值是 16. 考点三 公式法因式分解 例6 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：(x + y) + 2(x + y) + 1. 解：将“x + y”看成整体，令 x + y = m，则 原式= m + 2m + 1 = (m + 1)2. 再将 x + y = m 代入，得 原式= (x + y + 1)2. 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1) 因式分解：1 - 2 (x - y) + (x - y) ； (2) 因式分解：9(x - 2)2 - 6(x - 2) + 1. 考点四 因式分解综合应用 (1) 因式分解：1 - 2 (x ... ...