3.4 函数的应用(一）导学案（无答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质 §3．4 函数的应用【导学】 导学目标： 1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点). 2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点). 【知识要点】 【知识点一】 常见的函数模型 常 用 函 数 模 型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) (2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) (3)幂型函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) (4)分段函数 y＝ 解决函数应用问题的步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原. 一次函数、二次函数模型 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．利用二次函数求最值时应注意： (1)方法： 根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. (2)取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 分段函数模型 分段函数的注意点：建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式． 用幂函数模型解决实际问题步骤： 确定函数模型；利用待定系数法求解解析式，利用解析式解决问题． 【典型例题】 题型一　一次函数、二次函数模型 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．利用二次函数求最值时应注意： (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. (2)取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 【例1】某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 (1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ (2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 题型二　分段函数模型 分段函数的注意点：建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式． 【例2】随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 题型三 分式函数模型（基本不等式工具） 【例3】某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不满元的不予优惠；一次购物总额满元，但不满元的，减元；一次购物总额满元，不满元的，减元；一次购物总额满元的，按购物总额给予九折优惠.设某位顾客一次购物总额为元（假设可取上的一切实数），所享受到的优惠率（即原价与折扣价之差占原价的百分比）记为. (1)试写出关于的函数关系，并求该函数的最大值； (2)若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求的取值范围. 题型四 用幂函数模型解决实际问题 步骤：确定函数模型；利用待定系数法求解解析式，利用解析式解决问题． 【例4】在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比． (1)写出函数解析式（可带参数）； (2)假设气体在半径 ... ...