(
课件网) 14.3 角的平分线 课时1 角平分线的性质 第十四章 全等三角形 01 会用尺规作一个角的平分线. 02 探索并证明角的平分线的性质，能用角的平分线的性质解决简单问题. 怎样得到已知角的角平分线？ A O B 1.度量法； 2.折纸法． C 思考：能利用简单的直尺和圆规作出一个角的角平分线吗？ 任务一：用尺规作角的平分线. 活动1：探究角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系. 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN ？ C A B O M N P 当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN ？ C A B O M N P OP = OP，∠POM =∠PON， 在△OPM 和△OPN 中， 如果 OM = ON， 那么△OPM △OPN (SAS) 就有 PM = PN. 问题：反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN，点P在∠AOB的角平分线上吗？ A B O M N P OP = OP，OM = ON，PM = PN， 连接 OP，在△OPM 和△OPN 中， 那么△OPM △OPN (SSS)， 就有∠POM =∠PON. 即点 P 在∠AOB 的平分线上. 活动2：探究角平分线的作法. 思考1：由活动1的结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？其依据是什么？ 可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点； 再在角的内部作出与这两点距离相等的点； 以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了. A B O M N P 其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等. 动手：已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：(1) 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. A B O M N C (2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC即为所求. 思考2：为什么以大于MN的长为半径作弧？ A B O M N 以小于MN的长为半径，两弧无交点； 以等于MN的长为半径，不易操作. 任务二：角的平分线的性质. 活动1：角平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······. 分别比较 P1D1 与 P1E1、P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3······，你有什么发现？ C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2， P3D3 = P3E3······ 问题：给出你关于角平分线的点与角两边上的点所连线段的猜想. C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2， P3D3 = P3E3······ 活动2：验证猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等. 思考1：这里的“已知”和“求证”分别是什么？ 已知：一个点在一个角的平分线上. 求证：这个点到这个角两边的距离相等. P A O B C D E 分析：证明△OPD△OPE PD = PE 思考2：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE. 思考2：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO △PEO(AAS). ∴PD=PE. ∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC =∠BOC. 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD= PE PD⊥OA,PE⊥OB， 证明几何命题的一般步骤： 1.明确命题中的已知和求证 ... ...
