第1章 章末小结 导学案（含答案） 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学选择性必修第一册

第1章 章末小结 【知识导图】 【题型突破】 直线的倾斜角与斜率 例1　直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_____. 【变式设问1】若将题中P(1，0)改为P(-1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围. 【变式设问2】若将题中条件改为“经过P(0，-1)作直线l，若直线l与连接A(1，-2)，B(2，1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角α的取值范围. 　求直线的倾斜角与斜率的注意事项：(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的取值范围.(2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大. 直线的方程 例2　已知△ABC的顶点A(1，2)，B(-3，2)，直线BC的斜率为. (1)求过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)求角B的平分线所在直线的方程. 　求直线方程的两种方法 (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论. (2)待定系数法：设定含有参数的直线方程，再由条件求出参数. 距离问题 例3　已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点. (1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5，0)到l的距离的最大值. 　(1)求两条平行线间的距离，利用距离公式将其转化为点到直线的距离.(2)已知距离求参数值，列方程求出参数.(3)求距离的最值，可利用距离公式得出距离关于某个点的函数，利用函数知识求最值. 对称问题 例4　若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m+n=_____. 　(1)点A(a，b)关于直线Ax+By+C=0(AB≠0)的对称点为A'(m，n)，则有 (2)直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 求圆的方程 例5　已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 　求圆的方程的方法：求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题. 直线与圆的位置关系 例6　(多选题)已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，则下列命题正确的有(　　). A.直线l恒过点(3，1) B.y轴被圆C截得的弦长为4 C.直线l与圆C恒相离 D.当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为2x-y-5=0 　直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断点、直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.本题渗透了逻辑推理、数学运算的素养. 圆与圆的位置关系 例7　(2022年新高考全国Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程：_____. 　判断两圆位置关系的两种比较方法 (1)几何法是利用两圆半径的和或差的绝对值与圆心距作比较，得到两圆的位置关系. (2)代数法是把两圆位置关系的判断问题转化为方程组解的个数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出相离、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系. 弦长问题 例8　(2023年新高考全国Ⅱ卷)已知直线l：x-my+1=0与☉C：(x-1)2+y2=4交于A，B两点，则满足“△ABC的面积为”的m的一个值是_____. 　直线与圆相交时求弦长的常用的方法是解弦心距为d，圆的半径为r，半弦长构成的直角三角形.本题渗透了直观想象、逻辑推理、数学运算的素养. 【拓展延伸】 阿波罗尼斯圆及其应用 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成 ... ...