3.3 指数函数 学案3（含答案）

3.3　指数函数 学案 1．指数函数的概念 函数y＝ax(a＞0，a≠1)叫作指数函数． 谈重点 如何理解指数函数的定义 (1)指数函数的定义域是实数集R. (2)底数a大于零且不等于1的理由： 若a＝0，那么当x＞0时，ax≡0(“≡”表示恒等于)，当x≤0时，ax无意义； 若a＜0，那么对于x的某些数值，如，可使ax无意义； 若a＝1，那么对任何的x∈R，ax≡1，对它没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1，这样对于任何x∈R，ax都有意义，而且有研究的必要． (3)指数函数解析式的结构特征： 在指数函数y＝ax中，ax的系数必须是1，自变量x必须出现在指数的位置上，底数a是一个大于0而不等于1的常量．有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如y＝ax＋k(a＞0，a≠1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，例如y＝a－x(a＞0，a≠1)，这是因为它的解析式可以等价化归为，其中，. 指数函数结构的三个特征是判断函数是否为指数函数的三个标准，缺一不可． (4)“形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数”，这是非常有用的函数模型———指数增长型． 【例1－1】函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　)． A．a＝1，或a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a＞0，且a≠1 解析：根据指数函数解析式的结构特征可知，若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则需解得a＝2. 答案：C 【例1－2】指数函数y＝f(x)的图像经过点(π，e)，则f(0)＝_____，f(1)＝_____，f(－π)＝_____. 解析：设指数函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)，因为其图像经过点(π，e)，所以aπ＝e，故a＝，f(x)＝. 因此，f(0)＝e0＝1，f(1)＝，f(－π)＝e－1＝. 答案：1　　 析规律 待定系数法求解析式 已知函数类型求函数解析式，通常采用待定系数法． 【例1－3】下列函数是指数函数的是_____． (1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x； (5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx； (8)y＝(2a－1)x(且a≠1) 解析：根据指数函数解析式的结构特征进行判断，易知(1)(5)(8)为指数函数．(2)式中的自变量在底数的位置上，是幂函数而不是指数函数；(3)中4x的系数为－1，所以不是指数函数；(4)中底数－4＜0，所以不是指数函数；(6)中指数不是自变量x，而是x的函数x2，所以不是指数函数；(7)中底数x不是常数，不是指数函数． 答案：(1)(5)(8) 2．指数函数y＝2x和的图像和性质 (1)图像：在同一直角坐标系中用描点法画出函数y＝2x和的图像．由图可以看出，两个函数图像的相同点是都位于x轴的上方，都过点(0,1)；两个函数图像的不同点是函数y＝2x的图像是上升的，函数的图像是下降的．两个函数的图像关于y轴对称． (2)性质：定义域都是实数集R，函数值都大于0；20＝＝1；函数y＝2x是R上的增函数，函数是R上的减函数． (3)正整数指数函数y＝2x(x∈N＋)和实数指数函数y＝2x(x∈R)的图像都是上升的，在各自的定义域上都是增函数，但它们的图像不同，函数y＝2x(x∈N＋)的图像是一些孤立的点，这些点都在函数y＝2x(x∈R)的图像上；函数y＝2x(x∈R)的图像是一条连续的曲线． 【例2】满足的x的取值范围是_____． 解析：可结合指数函数的图像，也可利用指数函数的单调性解决．由指数函数的图像可以看出，当x＜0时，函数值.或利用其单调性求解，由于，而在R上是减函数，所以x＜0. 答案：(－∞，0) 3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的图像和性质 a＞1 0＜a＜1 图像 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 定点 过点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 指数函数反映了实数与正实数之间的一种一一对应关系． 【例3－1】函数y＝15x的图像是(　　)． ... ...