(
课件网) 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 探究点一 向量的数乘运算 探究点二 向量共线的判定及应用 探究点三 三点共线的判定及应用 探究点四 线段定比分点的坐标及应用 【学习目标】 1.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的数乘运算. 2.能用坐标表示平面向量共线的条件. 知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示 设，则_____ ,即实数与向量的积的坐标等 于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）已知向量，，，若 ， 则，的值分别为 ,2.( ) √ [解析] 由解得 （2）已知向量，的坐标分别是， ，则 ， ．( ) √ 知识点二 平面向量共线的坐标表示 设,,其中，则向量, 共线的充要条件是 _____. 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）若向量，，且，则 .( ) × （2）若向量，，且 ，则 .( ) × （3）已知，，且，，三点共线，则 点的坐标可 能是 .( ) √ （4）已知向量，，则 .( ) √ 探究点一 向量的数乘运算 例1 已知， ，求： （1） ； 解： . （2） ； 解： ． （3） . 解： . 变式（1） 若向量，，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 设 ， 即，则 解得所以 .故选B. √ [解析] ，，， ， ， ， ， . （2）已知三点，，，则 _____ ____， _____. ［素养小结］ 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算法则进行， 解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 探究点二 向量共线的判定及应用 例2（1） 下列各组向量是平行向量的有____.（填序号） ①， ； ②， ； ③， ； ④， . ① [解析] ， .② ，， 不平行.③ ，， 不平行.④ ，， 不平行.故填①. （2）已知，，当为何值时，与 平行？平行时它们是同向还是反向？ 解：方法一： ， ，当与 平行时， 存在唯一的实数 ，使 . 由，得 解得，与 反向. 方法二：由题知， ， 与平行， ， 解得， ，故与 反向. 变式（1） [2024·哈尔滨九中高一月考]下列向量中与 共 线的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A， ，所以不共线，A错误； 对于B， ，所以共线，B正确； 对于C， ，所以不共线，C错误； 对于D， ，所以不共线，D错误.故选B. √ （2）已知向量,,．若，则 ___. [解析] ， ， ，解得 . ［素养小结］ 向量， 共线的判定方法 （1）利用向量共线定理，由推出 . （2）利用向量共线的坐标表达式 直接求解． 拓展 已知直角坐标平面上的四点，，， ， 求证：四边形 是梯形. 证明：由已知得 ， ，， 与共线． ，， ， 与不共线， 四边形 是梯形． 探究点三 三点共线的判定及应用 例3（1） 已知，，，求证： ， ， 三点共线. 证明：， ， ，即与共线， 又与有公共点，，， 三点共线． （2）设向量，，，当 为何值 时，，， 三点共线？ 解：若，，三点共线，则， 共线， ， ， ，解得或 . 变式 [2024·厦门外国语学校高一月考] 在平面直角坐标系中，已知 ,,，若，， 三点能构成三 角形，则实数 的取值范围为_____. [解析] 若，，三点能构成三角形，则与 不共线，由题知 . 若与共线，则有 ，解得， 所以若与不共线，则， 故实数 的取值范围为 . ［素养小结］ 三点共线的条件以及判定方法 （1）已知，，三点共线时可转化为 ，利用向量共线的 条件求解． （2）利用两个非零向量平行证明三点共线时需分两步完成： ①证明两个非零向量平行；②证明两个非零向量有公共点． 探究点四 线段定比分点的坐标及应用 例4（1） 已知点，，点是线段 的一个三等分点， 求点 的坐标. 解：因为点是线段的一个三等分点，所以 或 ， 设，则或解得或 所以点的坐标为或 . （2）已知的三个顶点为， ... ...
