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课件网) 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 探究点一 向量数量积的坐标运算 探究点二 向量模的问题 探究点三 向量的夹角和垂直问题 【学习目标】 1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角. 2.能用坐标表示平面向量垂直的条件,会处理有关长度、角度和 垂直等问题. 知识点一 平面向量数量积的坐标表示 已知向量,,则 _____,即两个向 量的数量积等于_____. 它们对应坐标的乘积的和 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） 已知,,则 .( ) √ 知识点二 向量模的坐标表示 1.若,则_____, _____. 2.设,,则 _____. 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）若,,则 .( ) √ （2）已知向量，，若，则 . ( ) × [解析] 由得 ，解得 . 知识点三 向量垂直的坐标表示 设,是非零向量，,,则 _____. 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） 若,是非零向量，,,则“ ”的充要条件是 “ ”.( ) × [解析] “”的充要条件是“ ”. 知识点四 两个向量的夹角公式的坐标表示 设,都是非零向量,,, 是与 的夹角,根据 向量数量积的定义及坐标表示可得 _ _____. 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）若两个非零向量的夹角 满足,则两向量的夹角 一 定是钝角.( ) × （2）已知两个非零向量， ，若 ，则向量与的夹角为 .( ) × 探究点一 向量数量积的坐标运算 例1（1） 设，，，则 ( ) A. B. C.9 D.11 [解析] ，，， ， .故选C. √ （2）已知是腰长为2的等腰直角三角形，是斜边 的中点， 点在上，且，则 ( ) A. B. C. D.2 √ [解析] 如图，以C为坐标原点，, 所在直线 分别为轴、 轴，建立平面直角坐标系，则 ,,. 因为 ，所以，所以， 所以 ,， 所以 .故选C. 变式（1） [2024·厦门双十中学高一期中]已知 , ，则 ( ) A.10 B. C.3 D. [解析] 由向量,， 可得 , ， 所以 .故选B. √ （2）在正方形中，，为的中点，为 的中点， 则___；若为上的动点（包括端点），则 的最 大值为___. 1 3 [解析] 如图，以为坐标原点，， 所在直线分 别为轴、 轴，建立平面直角坐标系， 则由题意得，， ， 所以 , ，所以 . 设，则 ， 所以， 因为 ，所以，所以 的最大值为3. ［素养小结］ 向量数量积的坐标运算的技巧 （1）进行数量积运算时，要正确使用公式 ，并 能灵活运用以下几个关系式： ① . ② . ③ . （2）在平面几何图形中求数量积，若几何图形是规则的且易建系， 则可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积． 探究点二 向量模的问题 例2（1） 已知向量，，则 ( ) A. B.5 C.2 D.4 [解析] 方法一：, , , .故选A. 方法二：，， ， .故选A. √ （2）设向量，向量与向量 共线且方向相反，若 ，则向量 的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 设，，则 ， 可得，所以 .故选B. √ 变式（1） [2024·南阳六校高一期中]已知非零向量 ， ，若，则 ( ) A.8 B. C.6 D. [解析] 非零向量，，且 ， ，解得（舍去）或 ， ， .故选C. √ （2）已知，，且满足，则实数 的值为_____ . [解析] ， ， 解得 . ［素养小结］ 求向量的模的两种基本策略 （1）坐标法：若向量是以坐标形式出现的，即 ，则求向 量的模可直接利用公式 . （2）常规平方法：若向量， 是以非坐标形式出现的，则先求向量 模的平方，再通过向量数量积的运算求解．常用的求向量的模的公 式：|， . 探究点三 向量的夹角和垂直问题 例3 已知向量,,，向量与向量 的 夹角为 . （1）求 的值； 解：由题意得, ， , . （2）若，求实数 的值. 解：，且 , ，即，解得 . 变式（1） 已知向量,,， ... ...
