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课件网) 7.2 复数的四则运算 7.2.2 复数的乘、除运算 探究点一 复数的乘法运算 探究点二 复数的除法运算 探究点三 复数范围内的方程根的问题 【学习目标】 掌握复数代数表示式的乘、除运算法则,并能熟练地进行计算. 知识点一 复数的乘法法则及运算律 1.复数的乘法法则 设， 是任意两个复数，那么它们 的积 _____ ____. 2.复数乘法的运算律 对于任意，， ，有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）互为共轭复数的两个复数的和与积都是实数.( ) √ （2）若，，且，则 .( ) × （3） .( ) × [解析] 例如，而 . （4）已知,,，若，则 .( ) × [解析] 取,,，显然有，但 不成立. 知识点二 复数的除法法则 _____，，， ，且 . 【诊断分析】 1.计算： _____. [解析] . 2.复数的除法与实数的除法有何不同 解：实数的除法可以直接约分化简得出结果,但复数的除法中分母为复 数,一般不能直接约分化简. 因为两个共轭复数的积是一个实数,所以两个复数相除时,可以先把它们 的商写成分式的形式,然后把分子、分母同乘分母的共轭复数（注意是 分母的共轭复数）,再把结果化简即可. 探究点一 复数的乘法运算 例1 计算： （1） ； 解： . （2） . 解： . （3） . 解： . 变式（1） ( ) A. B. C. D. [解析] ，故选B. √ （2）已知，，是虚数单位，若与 互为共轭复数， 则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为与互为共轭复数，所以， ，所以 .故选D. √ （3）若复数，则 ___. 2 [解析] 因为，，，，且 ， 所以， 则 ,所以 . ［素养小结］ 两个复数的乘法运算的常用公式 （1） . （2） . （3） . 探究点二 复数的除法运算 例2 计算： （1） ； 解： . （2） . 解： . 变式（1） [2024·丽水五校高一月考]若复数满足， 是 虚数单位，则在复平面内 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] 由题意，复数 ，所以在 复平面内对应的点为 ，位于第二象限.故选B. √ （2）已知,设，则 __． [解析] , ， ，， ． （3）已知为虚数单位，则 _____. [解析] . ［素养小结］ 1.两个复数的除法运算的一般步骤 （1）首先将除式写为分式； （2）再将分子、分母同乘分母的共轭复数； （3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数 形式. 2.常用公式 （1）；（2）；（3） . 探究点三 复数范围内的方程根的问题 例3 已知是方程的一个根，为实数 . （1）求， 的值； 解：由题知，即 ， 所以解得 （2）试判断 是否为该方程的根. 解：由（1）知，原方程为 ，因为 ，所以 是该方程的根. 变式（1） 在复数范围内解方程 . 解：由，得，故 ，解得 ， . （2）已知关于的方程的一个虚根为 （其中为虚数单位），求实数 . 解：依题意，关于的方程的根为 ， 由根与系数的关系得 . ［素养小结］ 解决实系数一元二次方程问题的注意点 （1）解决实系数一元二次方程问题的基本依据是复数相等的充要条件. （2）与在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程 问题，根与系数的关系和求根公式仍然适用，但是用判别式判断方 程根的功能就发生改变了. 1.复数的乘法与多项式的乘法的区别 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果 中把换成 ，再把实部、虚部分别合并. 2.复数代数形式的除法运算的实质是分母“实数化”,即分子以及分母 同乘分母的“实数化”因式.类似于以前所学的把分母“有理化”. 3.有关虚数单位 的运算 虚数的乘方及其规律:,,,,, , ,, .可见,, , ,即 的乘方具有周期性且最小正周期为4. 4.复数常见的运算小结论 （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 5.常用公式 ； ； . 6 ... ...
