本章总结提升 【知识辨析】 1.√ [解析] 该数列是每项都为1的常数列,有无穷项. 2.√ [解析] 递推公式是表示数列的一种方法. 3.× [解析] 如数列-1,1,3, 5,7,9是等差数列,但其各项的绝对值不构成等差数列. 4.√ [解析] ∵数列{an}是公差为d的等差数列,∴an+1=an+d=an-1+2d, n>1,且n∈N*. 5.× [解析] 若这些常数都相等,则这个数列是等比数列;若这些常数不全相等,则这个数列就不是等比数列. 6.√ [解析] 常数列一定是等差数列,常数列的各项均不为零时,该数列是公比为1的等比数列. 7.× [解析] 当G是a,b的等比中项时,G2=ab成立.但当G2=ab时,G不一定是a,b的等比中项,如G=a=b=0. 8.× [解析] 可以为0,比如1,-1,1,-1,1,-1的和. 9.√ [解析] Sn=(q≠0且q≠1)可变形为Sn=-qn(q≠0且q≠1),令a=,则Sn=a-aqn. 10.× [解析] 等比数列中,序号成等差数列的项仍成等比数列. 11.√ [解析] ===. 12.× [解析] 利用数学归纳法证明与正整数n有关的命题时, 推证n=k+1时必须用n=k时的假设. 【素养提升】 题型一 例1 (1)B (2)C (3)B (4)BC [解析] (1)由题得=3+(n-1)×1=n+2,所以an=,故a2024==.故选B. (2)a2n+2=a2n+1-=a2n+-(n∈N*),所以a2024=a2022+-,a2022=a2020+-,a2020=a2018+-,…,a4=a2+1-,累加得a2024=a2+=0+1-=,故选C. (3)依题意,数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2),a1=2,则=(n≥2),所以an=a1···…·=2××××…××=n(n+1)(n≥2),又a1=2也符合上式,所以an=n(n+1),{an}是递增数列.由an=n(n+1)<930,得(n+31)(n-30)<0,解得-310恒成立, 则a1>0,设公差为d,当d=0时,Sn>0恒成立,此时数列{an}为常数列,an+1=an,故B错误;对于选项C,若数列{an}为等比数列,则首项a1≠0,设公比为q,若q=1,则{an}为常数列,a1=a2025,所以S2025·a2025=2025a1·a1=2025>0,当q≠1时,S2025·a2025=·(a1·q2024)=·q2024·>0,所以若数列{an}为等比数列,则S2025·a2025>0恒成立,故C正确;对于选项D,若数列{an}为等差数列,且a1>0,S6=S11,则a7+a8+a9+a10+a11=0,由等差数列的性质得5a9=0,故 ... ...
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