第四章 微突破（一） 求数列的通项公式常用方法（课件 学案 练习）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第二册

微突破(一)　求数列的通项公式常用方法 例1　(1)an=6n+5　(2)an=3n-1　(3)an=　[解析] (1)∵数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,∴a1=S1=3+8=11,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2+8n)-[3(n-1)2+8(n-1)]=6n+5,当n=1时上式也成立,∴an=6n+5. (2)根据题意,当n=1时,可得3a1-2a1=1,所以a1=1.由3an-2Sn=1,得当n≥2时,3an-1-2Sn-1=1, 所以3an-3an-1-2(Sn-Sn-1)=0(n≥2),即an=3an-1(n≥2),所以数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,故an=3n-1. (3)当n=1时,a1=,∵a1+2a2+…+2n-1an=,∴当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=,两式相减可得,2n-1an=,∴an=,当n=1时,a1=适合上式,∴an=. 例2　(1)B　(2)an=n2+2n-2　[解析] (1)由已知得an+1-an=-,则a1=1,a2-a1=1-,a3-a2=-,a4-a3=-,…,an-an-1=-(n≥2),以上各式相加得an=1+1-+-+…+-=2-,所以an=(n≥2).因为a1=1也适合上式,所以an=. (2)由题可知,数列{an+1-an-2n}是首项为3,公差为2的等差数列,∴an+1-an-2n=3+(n-1)×2=2n+1,即an+1-an=2n+2n+1,∴a2-a1=21+3,a3-a2=22+5,…,an-an-1=2n-1+(2n-1)(n≥2),以上式子累加得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=[1+3+5+…+(2n-1)]+(21+22+…+2n-1)=n2+2n-2(n≥2),又当n=1时,a1=1=12+21-2,满足上式,∴an=n2+2n-2. 例3　(1)B　(2)　[解析] (1)因为数列是常数列,所以Sn+nan=Sn+1+(n+1)an+1,又an+1=Sn+1-Sn,所以nan=(n+2)an+1,即=,所以当n≥2时,an=···…···a1=×××…×××1=,当n=1时,a1=1=,满足上式,所以an=.故选B. (2)由(n+2)-(n+1)+anan+1=0,得(n+2)·+=n+1,可得=,则=,=,…,=(n≥2),以上式子累乘得=××…×=(n≥2),又a1=1,所以an=(n≥2),又a1=1=,满足上式,所以an=. 例4　(1)an=2×3n-1-1　(2)　[解析] (1)由an+1=3an+2,得an+1+1=3(an+1),又a1+1=2,∴数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列,∴an+1=2×3n-1,∴an=2×3n-1-1. (2)由an-an+1=3anan+1(n∈N*)两边同时除以anan+1,得-=3,即bn+1-bn=3,所以{bn}是公差为3的等差数列.因为b1+b2+…+b9=90,所以=90,即=90,所以b5=10,所以b1=-2,bn=3n-5,所以an=.微突破(一)　求数列的通项公式常用方法 1.B　[解析] ∵Sn=n2,∴当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,而当n=1时也满足上式,∴an=2n-1.故选B. 2.D　[解析] ∵an+1-an=3n,∴a2-a1=3,a3-a2=6,…,a6-a5=15,上述等式累加可得a6-a1=3+6+9+12+15=45,∴a6=1+45=46.故选D. 3.D　[解析] 因为=(n≥2),所以=,=,…,=,上述各式相乘得=.因为a1=1,所以an=(n≥2),经检验,a1=1满足an=,所以an=.故选D. 4.B　[解析] ∵an+1=,∴==+n,∴-=1,-=2,…,-=9,以上各式相加可得,-=1+2+3+…+9=45,∵a1=1,∴=45+1=46,∴a10=.故选B. 5.C　[解析] 由题意易知an≠0,由(n+2)an+1=2nan变形为=,故=(n≥2),所以an=···…···a1=×××…××a1(n≥2),因为a1=1,所以an=(n≥2),又a1=1满足上式,故==-,所以Sn=1-+-+-+…+-=1-=.故选C. 6.C　[解析] 由an=Sn+2,得an+1=Sn+1+2,故an+1-an=(Sn+1-Sn),即an+1=4an,又当n=1时,a1=a1+2,得a1=8,所以数列{an}是首项为8,公比为4的等比数列,则an=8×4n-1=22n+1,所以bn=log2an=2n+1,所以b1012=2×1012+1=2025,故选C. 7.C　[解析] ∵an+1=an+,∴2n+1an+1=2nan+2,即2n+1an+1-2nan=2.又21a1=2,∴数列{2nan}是以2为首项,2为公差的等差数列,∴2nan=2+(n-1)×2=2n,∴an=.故选C. 8.ABD　[解析] ∵an+an+1=3n,∴an+1+an+2=3(n+1),两式相减得an+2-an=3,又a1=2,a1+a2=3×1=3,∴a2=1,故数列{an}的奇数项构成首项为2,公差为3的等差数列,偶数项构成首项为1,公差为3的等差数列,∴a2n-1=2+3(n-1)=3n-1,a2n=1+3(n-1)=3n-2,故a2024=3×1012-2=3034,a2-a1=-1≠1,S2n=[2+5+8+…+(3n-1)]+[1+4+7+…+(3n-2)]=+=3n2,故选ABD. 9.AD　[解析] 因为a1=1,an+1=,所以==+3,所以+3= ... ...