微突破(四) 导数与六大经典函数模型 题型一 例1 C [解析] 由题意知f'(x)=,所以f'(0)=1,故A错误;当x<1时,f'(x)>0, f(x)单调递增,当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故B错误;f(x)的极大值为f(1)=,故C正确;方程f(x)=-1等价于=-1,即ex=-x,作出函数y=ex与y=-x的图象,如图所示, 由图可知,函数y=ex与函数y=-x的图象有且只有一个交点,即方程f(x)=-1有且只有一个解,故D错误.故选C. 题型二 例2 [解析] 不等式(ax-ln x)(ex-ax)≥0对任意x>0恒成立,则或对任意x>0恒成立,即≤a≤或≤a≤对任意x>0恒成立.令f(x)=(x>0),g(x)=(x>0),则f'(x)=,可得函数f(x)在x=1处取得极小值,即最小值,最小值为f(1)=e.g'(x)=,可得函数g(x)在x=e处取得极大值,即最大值,最大值为g(e)=.若≤a≤对任意x>0恒成立,则≤a≤e. 若≤a≤对任意x>0恒成立,则a∈ . 综上可得,实数a的取值范围是. 题型三 例3 (1)D (2)C [解析] (1)令f(x)=,x>0,则f'(x)=,当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,因为a===f(4),b==f(6),c==f(7),f(4)>f(6)>f(7),所以a>b>c.故选D. (2)方法一:要比较0.1e0.1与的大小,可比较e0.1与的大小,即比较e0.1与的大小.构造函数f(x)=(1-x)ex(00(0h(0)=0,所以g'(x)>0,所以g(x)在(0,0.1]上单调递增,所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e0.1+ln(1-0.1)>0,即0.1e0.1>-ln 0.9,所以a>c.综上,b>a>c. 方法二:易知,当x>-1且x≠0时,ln(1+x),即ln>,可得>,则>0.1e0.1,即a0(0h(0)=0,所以g'(x)>0,所以g(x)在(0,0.1]上单调递增,所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e0.1+ln(1-0.1)>0,即0.1e0.1>-ln 0.9,所以a>c.综上,b>a>c. 题型四 例4 (1)A (2) [解析] (1)由题意得f(x)=+ln x-ax-1=eln x-ax+ln x-ax-1,x>0,令g(t)=et+t-1,则g'(t)=et+1>0,则函数g(t)在R上为增函数,且g(0)=0.要使函数f(x)=+ln x-ax-1有两个不同的零点,只需t=ln x-ax有两个不同的零点,令t=ln x-ax=0(x>0),则直线y=a与h(x)=(x>0)的图象有两个不同的交点.h'(x)=,当00,h(x)单调递增,当x>e时,h'(x)<0,h(x)单调递减,则h(x)max=h(e)=,当x>0,x→0时,h(x)→-∞,当x→+∞时,h(x)→0, 作出h(x)的大致图象,如图所示,由图可知,若直线y=a与h(x)=(x>0)的图象有两个不同的交点,则a∈,故选A. (2)将ln x=yex+ln y变形为ln=xex,∴ln=xex.令f(t)=tet,t∈(0,+∞),则f'(t)=(t+1)et>0,∴函数f(t)在(0,+∞)上单调递增,∴ln=x,∴y=,∴y-e-x=.令g(x)=,x∈(0,+∞),则g'(x)=,∴当x∈(0,2)时,g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增,当x∈(2,+∞)时,g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减,∴当x=2时,函数g(x)取得极大值也是最大值,且最大值为g(2)=,即 y-e-x的最大值为. 题型五 例5 证明:因为f(x)=,所以f(x-1)=,当x∈(0,2)时,要证f(x-1)≥ln x,只需证≥.令g(x)=,x>0,则g'(x)=,当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.由x∈(0,2),得ex-1∈ (0,e),故要证=≥,只需证ex-1≥x,即证ex-1-x≥0.令h(x)=ex-1-x,x∈(0,2),则h'(x)=ex-1-1.当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,2)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,故h(x)≥h(1)=0,即ex-1-x≥0.故f(x-1)≥ln x成立.微突破(四) 导数与六大经典函数模型 1.D [解析] 函数y=的定义域为(0,+∞),y'===,由y'<0得x>1 ... ...
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