微突破(三) 三次函数的图象与性质及应用 题型一 例1 BC [解析] 因为f(x)=x3-3x2+2,所以f'(x)=3x2-6x=3(x-1)2-3,则导函数f'(x)的图象的对称轴是x=1,且图象是开口向上的抛物线,故导函数f'(x)的单调递减区间为(-∞,1),A错误;因为f(1-x)+f(1+x)=(1-x)3-3(1-x)2+2+(1+x)3-3(1+x)2+2=0,所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,B正确;设过原点(0,0)的直线与曲线y=f(x)相切于点(t,f(t)),则f'(t)=3t2-6t=,整理得2t3-3t2-2=0,令g(x)=2x3-3x2-2,则g'(x)=6x2-6x=6x(x-1),令g'(x)>0,得x<0或x>1,令g'(x)<0,得0
0,得x<0或x>2,令f'(x)<0,得00,极小值f(2)=-2<0,由三次函数的性质得f(x)=0有三个解,即f(x)有三个零点,故D错误.故选BC. 变式 A [解析] 观察图象知,f(0)=d>0,函数f(x)有3个零点,设3个零点为x1,x2,x3(x1x3时,f(x)<0,而此时(x-x1)(x-x2)(x-x3)>0,因此a<0.f'(x)=3ax2+2bx+c,函数f(x)有两个极值点α1,α2,且α1<α2<0,即f'(x)=0有两个不等实根,且-=α1+α2<0,=α1α2>0,因此b<0,c<0,所以a<0,b<0,c<0,d>0.故选A. 题型二 例2 D [解析] 函数f(x)的导函数f'(x)=a(x-a)(x-1),令f'(x)=0,可得a(x-1)(x-a)=0,易知a≠0,则x=1或x=a.若a<0,则当a0;当x1时,f'(x)<0.所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.若01时,f'(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意,舍去.若a=1,则f'(x)=(x-1)2≥0恒成立,不符合题意,舍去.若a>1,则当1a时,f'(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.故实数a的取值范围为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D. 例3 解:(1)当m=1时,f(x)=x3-x2-2x+1,f'(x)=3x2-x-2,所以f(2)=3,f'(2)=8,所以所求切线方程为y-3=8(x-2),即8x-y-13=0. (2)f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),令f'(x)=0,得x=-或x=1.当x<-或x>1时,f'(x)>0;当-1或x<-1时,f'(x)=3x2-3>0,当-10,f(1)=1-3+2=0,f(-2)=-8+6+2=0,故函数f(x)=x3-3x+2的零点的个数为2.故选C. 4.B [解析] 由f(x)=x3+3ax2+bx+a2,得f'(x)=3x2+6ax+b,因为当x=-1时,f(x)取得极值0,所以解得或当时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,此时函数f(x)在x=-1处取不到极值;经检验,当时,函数f(x)在x=-1处取得极值0,满足题意.所以所以ab=18.故选B. 5.B [解析] 令f'(x)=3x2-2x=x(3x-2)=0,解得x=0或x=,可得当x∈时,f'(x)<0,当x∈∪[-1,0)时,f'(x)>0,所以f(x)在x=处取得极小值,又f=a-,f(-1)=a-2,显然a-2