2.3等腰三角形的性质定理 【知识点1】等腰三角形的性质 1 【知识点2】等边三角形的性质 1 【题型1】等边对等角与三角形内角和 2 【题型2】根据等腰三角形“三线合一”的性质求角度 4 【题型3】等腰三角形的性质综合 7 【题型4】等边对等角与三角形的外角 10 【题型5】根据等边三角形的性质求角 13 【题型6】根据等腰三角形“三线合一”的性质求边或证边的关系 16 【题型7】等边对等角与线段的垂直平分线 20 【题型8】等边对等角与平行线 24 【题型9】等腰三角形“三线合一”的性质 28 【知识点1】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【知识点2】等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【题型1】等边对等角与三角形内角和 【典型例题】若等腰三角形有一个角是40°，则它的底角为（ ） A.40° B.70° C.40°或70° D.40°或100° 【答案】C 【解析】当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角（180°﹣40°）＝70°； 当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°， 故它的底角的度数是70°或40°． 故选：C． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝55°，P是边上AB的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的度数可能是（ ） A.55° B.70° C.110° D.130° 【答案】C 【解析】∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝55°， ∴∠A＝180°﹣110°＝70°， ∵∠BPC＝∠A+∠ACP， ∴∠BPC＞70°， ∵∠B+∠BPC+∠PCB＝180°， ∴∠BPC＜125°， ∴70°＜∠BPC＜125°， 故选：C． 【举一反三2】等腰三角形的一个内角是70°，则这个等腰三角形的底角是 ． 【答案】55°或70° 【解析】①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°； ②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°； 故答案为：55°或70°． 【举一反三3】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE． （1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数； （2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由． 【答案】解：（1）∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝30°，∠ACB＝70°， ∴∠ABC＝80°． 在△BDC中，BD＝BC， ∴， ∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝20°． （2）设∠BCD＝x°， ∵BE＝BC， ∴∠BEC＝∠BCE＝（α+x）°， ∴∠DBC＝180°﹣2x°，∠EBC＝180°﹣2（α+x）°． ∴∠DBC﹣∠EBC＝（180°﹣2x°）﹣[180°﹣2（α+x）°]＝2α°， 又∵∠DBC﹣∠EBC＝∠ABE＝β°， ∴2α＝β． 【举一反三4】已知等腰△ABC中，∠A＝80°． （1）求∠B的度数． （2）在解答完（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰△ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围． 【答案】解：（1）∠A是顶角，则∠B50°； ∠B是顶角，则∠A是底角，则 ... ...
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