【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.2 从函数观点看一元二次方程 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

2.2　从函数观点看一元二次方程 学习任务 核心素养 1．理解函数零点的概念．(重点) 2．能根据“两个二次”之间的关系研究函数的零点．(重点、难点) 通过以一元二次方程研究函数的零点的学习，培养数学抽象和数学运算素养． 函数与方程有着一定的联系，请尝试完成下列两个表格，并思考它们有着怎样的联系？ a>0 a<0 一次函数y＝ax＋b的图象 一元一次方程ax＋b＝0的根 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 知识点1　二次函数的零点 一般地，把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．这样，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的_____就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，也就是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的_____． 二次函数一定有零点吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标，也是函数值为零时自变量x的值，也是函数相应的方程相异的实数根． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y＝x2的零点为(0，0)． (　　) (2)当Δ＝0时，二次函数有两个相同的零点． (　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数有两个零点． (　　) 知识点2　函数零点的探究 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1，2＝ 有两个相等的实数根x1，2＝－ 没有实数根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 有两个零点 _____ 有一个零点x＝ _____ 无零点 2．二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 类型1　二次函数的零点 【例1】　求下列函数的零点． (1)y＝3x2－2x－1； (2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)； (3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1．求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点． 2．函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点． 3．求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤 (1)若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零； (2)若二次项系数不为零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数根．若可以因式分解，则一定存在零点； (3)若二次项系数不为零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等． [跟进训练] 1．求下列函数的零点． (1)y＝2x2－3x－2； (2)y＝ax2－x－1； (3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ... ...