15.3.2 课时2 含30°角的直角三角形的性质 【基础堂清】 1.已知直角三角形中30°角所对的直角边为2 cm,则斜边的长为 ( ) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 2.有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是( ) A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m 3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ADC=60°,∠B=30°,若CD=3,则BD的长为 . 【能力日清】 4.某市在旧城改造中,计划在市内一块空地(如图)上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米的售价为a元,则购买这种草皮至少需要 . 5.如图,灯塔C在海岛A的北偏东75°方向,某天上午8点,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度由西向东航行,10时整到达B处,此时,测得灯塔C在B处的北偏东60°方向. (1)求B处到灯塔C的距离. (2)已知在以灯塔C为中心,周围16海里的范围内均有暗礁,若该船继续由西向东航行,是否有触礁的危险 请你说明理由. 【素养提升】 6.如图,在等边△ABC中,AB=AC=BC=10 cm,DC=4 cm.已知点M以3 cm/s的速度运动. (1)如果点M在线段CB上由点C向点B运动,点N在线段BA上由B点向A点运动.它们同时出发,且点N的运动速度与点M的运动速度相等. ①经过2 s后,△BMN和△CDM是否全等 请判断并说明理由; ②当两点的运动时间为多少时,△BMN是一个直角三角形 (2)若点N的运动速度与点M的运动速度不相等,点N从点B出发,点M以原来的运动速度从点C同时出发,都顺时针沿△ABC三边运动,经过25 s点M与点N第一次相遇,则点N的运动速度是 cm/s. 参考答案 1.B 2.B 3.6 4.150a元 5.解:(1)根据题意得∠BAC=90°-75°=15°,∠CBE=90°-60°=30°,AB=15×2=30(海里), ∴∠C=30°-15°=15°, ∴∠BAC=∠C, ∴BC=AB=30(海里). 答:B处到灯塔C的距离为30海里. (2)如图,过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D. ∵∠CBD=30°,BC=30(海里), ∴CD=BC=15(海里). ∵15<16, ∴这条船继续由西向东航行会有触礁的危险. 6.解:(1)①△BMN≌△CDM. 理由:∵vN=vM=3 cm/s,且t=2 s,∴CM=2×3=6(cm),BN=2×3=6(cm), ∴BM=BC-CM=10-6=4(cm),BN=CM. ∵CD=4 cm,∴BM=CD. ∵∠B=∠C=60°,∴△BMN≌△CDM(SAS). ②设当运动时间为t时,△BMN是直角三角形,有两种情况: (Ⅰ)当∠NMB=90°时,∵∠B=60°, ∴∠BNM=90°-∠B=90°-60°=30°, ∴BN=2BM,∴3t=2×(10-3t),∴t=. (Ⅱ)当∠BNM=90°时,∵∠B=60°, ∴∠BMN=90°-∠B=90°-60°=30°, ∴BM=2BN,∴10-3t=2×3t,∴t=, ∴当t= s或t= s时,△BMN是直角三角形. (2) 3.8或2.6. 提示:分两种情况讨论: (Ⅰ)若点M的运动速度快,则 3×25-10=25vN,解得 vN=2.6. (Ⅱ)若点N的运动速度快,则 25vN-20=3×25,解得vN=3.8.15.3.2 课时1 等边三角形的性质与判定 【基础堂清】 知识点1 等边三角形的性质 1.等边三角形两条中线相交所成的锐角等于 ( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 2.如图,直线l∥m∥n,等边△ABC的顶点B,C分别在直线n和m上,边BC与直线n所夹锐角为28°,则∠α的度数为 . 知识点2 等边三角形的判定 3.下列命题中,正确的有 ( ) ①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形; ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形; ③有一边上的高也是这条边上的中线的等腰三角形是等边三角形; ④三个外角都相等的三角形是等边三角形. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4.(中考真题)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知∠α=60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为 cm. 【能力日清】 5.如图,∠AOB=60°,C是BO延长线上的一点,OC=6 cm,动点P从点C出发沿射线CB以2 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿射线OA以1 cm/s的速度移动,点P,Q同时出发,用t(单位:s)表示移动的时 ... ...
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