7.1.2 弧度制 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

7．1.2　弧　度　制 1. 理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数． 2. 了解角的集合与实数集R之间可以建立一一对应的关系，体会引进弧度制的必要性． 3. 掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题． 活动一 理解角度、弧度的概念 在半径为r的圆O中，如何比较∠AOB与∠COD的大小，并说明理由． 思考1 在初中，我们已经学过角的度量，1度的角是怎样定义的？角还有没有新的度量方法？ 思考2 当弧长l一定时，随着半径r的增大，圆心角α发生什么变化？ 思考3 弧长l、半径r和圆心角α三者之间存在怎样的数量关系式？ 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1 rad. 用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制． 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0. 思考4 (1) 圆的半径为r，弧长为2r、3r、的弧所对的圆心角(正角)分别为多少弧度？ (2) 角的弧度数与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？ 在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角． 探究1　作图，探求平角、周角的弧度数并与它们的角度数进行比较． 注意：(1) 以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式； (2) 角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示时不能混用． 探究2　在下图中写出各特殊角所对应的弧度数． 活动二　掌握角度与弧度互化　 例1　将下列各角从弧度化为度： (1) ； (2) 3.5； (3) －. 例2　将下列各角从度化为弧度： (1) 250°； (2) －22°30′； (3) －150°. 将下列各角度与弧度互化： (1) ； (2) －； (3) －157°30′. 活动三　用弧度表示终边相同的角　 例3　已知角α＝2 020°. (1) 将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2) 在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． 如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界). (2) 　 活动四 掌握扇形的弧长与面积公式　　 探究3　推导弧度制下的弧长和扇形面积公式． 角度制 弧度制 角 n° α 半径 r r 弧长公式 l＝ 扇形面积公式 S＝·πr2 例4　已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，求该扇形的面积． 　　 求解下列各题： (1) 已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形的圆心角(正角)的弧度数； (2) 若某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，求扇形的面积； (3) 若一扇形的周长为60 cm，当它的半径和圆心角各为多少时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 1. (2025嘉兴期末)－是(　　) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. (2025盐城期末)若α＝－5，则角α的终边在(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. (多选)(2024新乡月考)下列说法中，正确的是(　　) A. 100°化成弧度是 rad B. rad化成角度是2° C. －420°化成弧度是－ rad D. － rad化成角度是－75° 4. (2025湖北部分市州期末)已知扇形的半径为2，圆心角为30°，则该扇形的面积为_____． 5. (2024揭东二中月考)已知角α＝1 200°. (1) 将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β≤2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2) 在区间[－4π，0]上找出与α终边相同的角． 7．1.2　弧　度　制 【活动方案】 背景引入：①用量角器度量；②比较弦长；③比较弧长． 思考1：周角的为1度的角，还有弧度制． 思考2：变小． 思考3：|α|＝. 思考4：(1) 2，3，. (2) 无关． 探究1　 　 探究2　 角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 0 π 例1　(1) rad＝×＝108°. (2) 3.5 rad＝3.5 ... ...