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课件网) 6.3 二项式定理 6.3.2 二项式系数的性质 探究点一 二项展开式的系数和 探究点二 系数的最大项问题 【学习目标】 1.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单应用. 2.理解和初步掌握赋值法及其应用. 知识点一 二项式系数表 1.从第一项起至中间项,二项式系数逐渐_____,随后又逐渐_____. 增大 减小 2.表中每行两端的数都是1,而且除1以外的每一个数都等于它肩上两 个数的____. 和 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）二项式系数表中每一行的首末两数都是1.( ) √ （2）二项式系数表的每一斜行中两相邻数字的差的绝对值都成等差 数列.( ) × [解析] 每一斜行中两相邻数字的差的绝对值不都成等差数列，例如 当一斜行数字为1,4,10,20， 时，两相邻数字的差的绝对值依次为 3,6,10, ,不成等差数列. 知识点二 二项式系数的性质 （1）对称性：在 的展开式中，与_____的两个 二项式系数相等，即，， ， . 首末两端“等距离” （2）增减性与最大值：当时，随 的增加而_____；由对 称性知，当时，随的增加而_____.当 是偶数时，中间 的一项____取得最大值；当 是奇数时，中间的两项_ ____与_____相 等，且同时取得最大值. 增大 减小 （3）各二项式系数的和 ① ____； ② _____. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）二项展开式的二项式系数的和为 .( ) × [解析] 二项展开式的二项式系数的和为 . （2）二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.( ) × （3）在 的展开式中二项式系数最大的项是第5项和第6项. ( ) √ （4）在 的展开式中系数最大的项是第5项和第6项.( ) × [解析] 的展开式的通项为 ， 则展开式中系数最大的项是第5项. 探究点一 二项展开式的系数和 例1 设 . （1）求 的值; 解:令,得 . （2）求 的值; 解:令,得 . 由得 , . （3）求 的值; 解:由得 , . 令,得, . （4）求 的值; 解: 的展开式的通项为 , ,,且， . （5）求 的值. 解:对 两边 分别求导得, 令,得 . 变式（1） （多选题）[2024·福建泉州高二期中] 若 ，则( ) A. B. C. D. √ √ [解析] 对于A，令，得 ，故A错误； 对于B，令，得， 令 ，得， 得 ， 所以， 又 ，所以 ，故B正确； 对于C，由以上分析知， ，所以 ，故C错误； 对于D，令，得 ， 所以，故D正确.故选 . （2）若 . ①求 的值； 解：由， 令 ，可得， 令 ，可得， 所以 . ②求 的值. 解：由 ， 令，可得 ， 又由①知 ，所以 . ［素养小结］ 二项展开式中系数和的求法： （1）对形如， 的式 子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 即可；对 形如 的式子求其展开式的各项系数之和， 只需令 即可. （2）一般地，若，则 展开 式中各项系数之和为 ，奇数项系数之和为 ，偶数项系数之和为 . 拓展 已知 . （1）求 的值； 解：令，得 . （2）求 的值. 解：令 ，得 ， 则 . 探究点二 系数的最大项问题 例2 已知二项式 ，求： （1）展开式中二项式系数最大的项； 解：因为 的展开式中共有9项，所以中间一项（第5项）的二 项式系数最大，所以展开式中二项式系数最大的项为 . （2）展开式中系数最小的项. 解：二项展开式中系数最小的项应在各负项中确定. 由题意知第4项和第6项的系数相等且最小， ， ，所以展开式中系数最小的项是 和 . 变式（1） [2024·重庆西南大学附中高二月考]已知 的展开 式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是( ) A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 √ [解析] 由展开式中仅第4项的二项式系数最大，得展开式中共有7项， 则，所以二项式为 ，其展开式的通项为 , ,1,2,3,4,5,6.设展开式中第 项的系数最大，则有解得 ，故 ，经检验符合题意，所以展开式 ... ...
