8.6.1 直线与直线垂直 【课标要求】 1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系.2.掌握两异面直线所成的角的求法． 【导学】 学习目标一 异面直线所成的角 师问：同学们都知道两条相交直线所成角的大小可以度量，那么两条异面直线所成角的大小该如何定义呢？ 生答： 例1 如图所示，在四面体ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角的大小． 【一题多变】 将本例条件“AB＝CD，AB⊥CD”改为“AB＝CD＝2，EF＝”，此时CD和AB所成的角如何？ 总结：求两异面直线所成角的一般步骤 (1)找角：根据异面直线所成角的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线所成角的相关角，并加以证明． (2)求角：解三角形得出． (3)定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角． 跟踪训练1 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，求异面直线EF与GH所成的角． 学习目标二 直线与直线垂直 师问：根据异面直线所成角的定义，如何定义直线与直线垂直？ 生答： 例2 如图，在正三棱柱ABC A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′. 总结：要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角．若能证明这个角是直角，即得到两异面直线垂直． 跟踪训练2 空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD. 学习目标三 异面直线所成角的应用 例3 如图，已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1，B，A分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线O1B，O2A所成的角为，求AB的长． 总结：当已知条件中含有异面直线所成角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论． 跟踪训练3 在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两互相垂直，且AB＝BC＝2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成的角的余弦值为，则四面体的体积为_____． 【导练】 1．若空间中的三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( ) A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 2．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是( ) A．BC1 B．A1D C．AC D．BC 3．设a，b，c是直线，则( ) A．若a⊥b，c⊥b，则a∥c B．若a⊥b，c⊥b，则a⊥c C．若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等 D．若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c是异面直线 4．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为_____． 【导思】 如图，在四面体A BCD中，AC＝2，BD＝，AC与BD所成的角为45°，M，N分别为AB，CD的中点，则线段MN的长为_____． 8．6 空间直线、平面的垂直 8．6.1 直线与直线垂直 导 学 学习目标一 生答：利用等角定理，平移为两相交直线所成的角． 例1 解析：如图， 取BD的中点G，连接EG，FG， ∵E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD， ∴EG∥CD，GF∥AB， 且EG＝CD，GF＝AB， ∴EG＝GF， ∴∠EFG或其补角是EF与AB所成的角． ∵AB⊥CD，∴EG⊥GF， ∴∠EGF＝90°， ∴△EFG为等腰直角三角形， ∴∠EFG＝45°，即EF和AB所成的角的大小为45°. 一题多变 解析：∵E，F，G分别是所在棱的中点， ∴GE∥CD，GF∥AB. ∴∠EGF或其补角即为AB与CD所成的角． 由已知可得GE＝GF＝1，又EF＝， ∴由余弦定理得∠EGF＝120°， ∴异面直线AB与CD所成的角为60°. 跟踪训练1 解析： 如图，连接A1B，BC1，A1C1， 由题意知EF∥A1B，GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角是∠A1BC1或其补角． 由正方体性质知△A1BC1是等边三角形，∠A1BC1＝6 ... ...
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