2.2 圆 的 对 称 性 ( 1 ) 【学习目标】 1. 利用圆的旋转不变性探索圆心角、弧、弦之间的关系； 2. 证明圆心角、弧、弦之间的相等关系，并运用解决相关问题. 【学习过程】 问题1: 圆具有怎样的对称性 如何验证 问题2: 联系上述操作，圆的相关元素之间具有怎样的关系 追问：如何刻画弧的度数 数学认识： 例 1 如 图 ，AB、AC、BC 是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC. ∠ABC与∠BAC相等吗 为什么 当堂练习 1. 如图，在⊙O中， =,∠ACB=60°.求证∠AOB=∠BOC=∠AOC. 2. 如图，在⊙O中，= , ∠AOB=50° . 求∠COD 的度数. 3. 如图，在⊙O中，AB 是弦，C 、D是圆上两点，= , 半径OC、OD 与AB 分别交于E、F两点，求证CE=DF *4 . 如图，AB 、CD是⊙O 的两条弦，AB//CD. AC与BD相等吗 课后作业 1..如图，AB 、CD是⊙O 的两条弦. (1)已知AB=CD, 那么 , ; (2)已知=,那么 ， ； ( _ )(3)已知∠AOB=∠COD,那么 · ( 第1题 )第2(1)题 第2(3)题 2.填空题： (1)如图，若弦AB把⊙O的周长分成2:7两部分，则∠AOB= ° ; ( 2 ) 在 ⊙O 中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为 °. (3)如图，在△ABC 中，∠C=90°,∠B=28°, 以点C为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D, 交BC 于点 E. 则 的度数为 , 的度数为 3.选择题： (1)某同学期中考试总分480分，其中数学80分，若用扇形统计图表示各学科分数比例，则数学所占扇形 圆心角为( ). A.30° B.45° C.60° D.90° (2)如图，点A 、C在⊙O上，∠AOC=120°, 是 AC的中点，四边形ABCO是 ( ). A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 4. 如图，AB 是⊙O的直径，==,∠BOC=40° . 求AE度数. 5. 如图 ，在⊙O中，AO是半径,AB、AC 是 弦 ，且AB=AC.点 O 在∠BAC的平分线上吗 为什么 6.如图 ，AB是⊙O 的 直 径 ，OD//AC. 与 的大小有什么关系 为什么 7.如图，的的长度是 长度的2倍.弦AB 的长度是弦CD 长度的2倍吗 动手量一量，并说明其中的道理 例1 结论：∠ABC = ∠BAC。 理由： ∵∠AOC = ∠BOC（已知）， ∴弧AC = 弧BC（在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。 ∴弦AC = 弦BC（在同圆中，相等的弧所对的弦相等）。 ∴△ABC是等腰三角形，∠ABC = ∠BAC（等边对等角）。 当堂练习 1. 证明∠AOB=∠BOC=∠AOC 证明： ∵弧AB = 弧AC（已知）， ∴AB = AC（等弧对等弦）。 又∵∠ACB = 60°， ∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）， ∴AB = BC = AC。 ∴弧AB = 弧BC = 弧AC（等弦对等弧）。 ∴∠AOB = ∠BOC = ∠AOC（等弧对等圆心角）。 2. 求∠COD的度数 解： ∵弧AC = 弧BD（已知）， ∴弧AC + 弧BC = 弧BD + 弧BC（等式性质）， 即弧AB = 弧CD。 ∴∠AOB = ∠COD（等弧对等圆心角）。 ∵∠AOB = 50°（已知）， ∴∠COD = 50°。 3. 求证CE=DF 证明： ∵弧AC = 弧BD（已知）， ∴∠AOC = ∠BOD（等弧对等圆心角）。 ∵OA = OB（半径相等）， ∴△OAB是等腰三角形，∠OAB = ∠OBA（等边对等角）。 在△OAE和△OBF中： ∠OAE = ∠OBF（已证）， OA = OB（半径相等）， ∠AOE = ∠BOF（公共角）， ∴△OAE ≌ △OBF（ASA）， ∴OE = OF（全等三角形对应边相等）。 ∵OC = OD（半径相等）， ∴OC - OE = OD - OF（等式性质）， 即CE = DF。 4. 判断AC与BD是否相等 结论：AC = BD。 理由： 过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N。 ∵AB//CD，∴OM = ON（平行线间的距离相等）。 ∴AB = CD（在同圆中，弦心距相等则弦相等）。 ∴弧AB = 弧CD（等弦对等弧）。 ∴弧AB + 弧BC = 弧CD + 弧BC（等式性质）， 即弧AC = 弧BD。 ∴AC = BD（等弧对等弦）。 课后作业 1. 填空题 （1）已知AB=CD，那么 弧AB = 弧CD，∠AOB = ∠COD； （2）已知AB=CD，那么 弧AB = 弧CD，∠AOB = ∠COD； （3）已知∠AOB=∠COD，那 ... ...
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